Ми визначаємо зміну попиту внаслідок ефекту доходу як (припустимо, що є 2 товари і ціна тільки одного з них, скажімо $ p_1 $, зміни)
$ dx_1 ^ N = x_1 (p_1 + dp_1, p_2, m) - x_1 (p_1 + dp_1, p_2, m + dm) $.
Передбачається загальна зміна кількості, що вимагається
$ dx_1 = dx_1 ^ S + dx_1 ^ N $
Однак для рівняння Слуцького ми приймаємо конвенцію
$ dx_1 = dx_1 ^ S + dx_1 ^ M $, де $ dx_1 ^ M = -dx_1 ^ N $.
Моє перше запитання - чому саме ми приймаємо цю конвенцію?
Тепер, припускаючи, що ми починаємо з ендаументації $ (omega_1, omega_2) $, рівняння Слуцького має бути модифіковано, щоб врахувати ефект прибуткового прибутку, оскільки зміна ціни обов'язково призведе до зміни доходу. У книзі проміжних мікроекономік Varian, швидкість зміни попиту внаслідок ефекту прибуткового доходу визначається як
$ frac {часткова x_1 ^ M} {часткова m} frac {часткова m} {часткова p_1} $, і таким чином рівняння Слуцького стає (з точки зору швидкості зміни w.r.t ціна)
$ frac {часткова x_1} {часткова p_1} = frac {часткова x_1 ^ S} {часткова p_1} - frac {часткова x_1 ^ M} {часткова p_1} + frac {часткова x_1 ^ M} {часткова m} frac {часткова m} {часткова p_1} $
Чому ми не можемо визначити ефект прибуткового доходу як $ frac {часткова x_1 ^ N} {часткова m} frac {часткова m} {часткова p_1} = - frac {часткова x_1 ^ M} { частковий m} frac {частковий m} {частковий p_1} $?
Математично строгий відповідь буде оцінено.