Криві обчислення та байдужості на прикладі міської економіки

Я читаю статтю " Структура міської рівноваги " Яна Брюкнера.

Він використовує моноцентричну модель міста, де всі споживачі отримують дохід у центрі міста. Вони купують житло за ціною на відстані від центру, несучи транспортні витрати .$y$$q$$p$$x$$tx$

Споживачі мають корисну функцію:

$v(c,q)=v(y - tx - p(\phi)q(\phi),q(\phi))=u$

де$\phi=x,y,t,u$

Бюджетне обмеження:

$c = y - tx - pq$

Умова дотику означає:

$\frac{v_1(y - tx - pq, q)}{v_2(y - tx - pq, q)} = p$

де підпис 1 позначає часткову диференціацію wrt першого аргументу і т.д.

Потім у статті йдеться про те, як і змінюються залежно від та .$p$$q$$x, y, t$$u$

Якщо , ми залишимося на тій же кривій байдужості. Я вважаю, що відносно просто знайти та .$\phi=x,y,t$$\frac{\partial{p}}{\partial{x}},\frac{\partial{p}}{\partial{y}}$$\frac{\partial{p}}{\partial{t}}$

Якщо - нахил кривої попиту з компенсацією доходу, то .$\eta$$\frac{\partial{q}}{\partial{\phi}} = \eta\frac{\partial{p}}{\partial{\phi}}$

Тепер, щоб дозволити . Бюджетне обмеження зменшується, щоб відповідати новій кривій байдужості, визначаючи нові і .$u$$p$$q$

Я можу знайти . Повністю диференціюйте функцію корисності wrt u:$\frac{\partial{p}}{\partial{u}}$

$\frac{d}{du}[v(y - tx - p(\phi)q(\phi),q(\phi))= u] = v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q-p\frac{\partial{q}}{\partial{u}})+v_2(\frac{\partial{q}}{\partial{u}})=1$

Оскільки, за умови дотику :$v_2=pv_1$

$v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q-p\frac{\partial{q}}{\partial{u}}+p\frac{\partial{q}}{\partial{u}})=v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q)=1$

Тож .$\frac{\partial{p}}{\partial{u}} = \frac{-1}{qv_1}$

Потім у статті цитується:

$\frac{\partial{q}}{\partial{u}} = [\frac{\partial{p}}{\partial{u}}-\frac{\partial{MRS}}{\partial{c}}\frac{1}{v_1}]\eta$

Я не знаю, як це зробити. Я здогадуюсь, що перший термін у квадратних дужках є ефектом заміщення, а другий термін - ефектом доходу.

Допоможіть, будь ласка, зрозуміти цей останній вираз і як його отримати.$\frac{\partial{q}}{\partial{u}} = [\frac{\partial{p}}{\partial{u}}-\frac{\partial{MRS}}{\partial{c}}\frac{1}{v_1}]\eta$