Повні ринки в постійному часі

У стандартній дискретній економіці часу з обмеженою кількістю штатів, , повна ринкова економіка - це просто економіка з n незалежними активами (Подумайте, Ljunqvist і Sargent, глава 8). Це тому, що завтра n незалежних активів достатньо, щоб охопити набір штатів завтра.$n$$n$$n$

На минулому тижні я мав дискусію з професором, в якій він заявив, що однією із зручностей безперервного часу, коли думаєш про ціноутворення активів, є те, що в умовах економіки безперервного часу можна отримати повні ринки просто з безризиковою облігацією та ризиковим активом ( незалежно) для кожного броунівського руху в економіці.

Він пояснив це, коли ми розмовляли, тож я думаю, що я здебільшого це розумію, але цікавився, чи хтось буде проти записувати деталі?

Я, мабуть, пробуду на цьому день чи два (залежить від деяких властивостей диференціального числення), тому якщо ніхто більше не відповість на це питання, то, сподіваюся, я можу дати задовільну відповідь.

Я є останньою людиною, яка повинна відповідати на такі питання безперервного часу, але якщо немає нікого іншого, я думаю, я дам йому постріл. (Будь-яке виправлення моїх тьмяно запам'ятовуваних безперервних фінансів дуже вітається.)

Моє враження завжди було, що це найкраще трактувати як наслідок теореми про представлення мартінгала . По-перше, хоч я вільно встановлю деякі позначення. Нехай простір ймовірностей генерується за допомогою незалежних процесів Вінера ( Z 1 t , … , Z n t ) . Нехай є n + 1 активи, де значення i- го активу при t задається S i t . Припустимо, що актив i = 0 - це безризикова облігація d S $n$$(Z_t^1,\ldots,Z_t^n)$$n+1$$i$$t$$S_t^i$$i=0$, тоді як активиi=1,…,nє ризикованими і керуються відповіднимиZ i t : dS i t =μ i t dt+σ i t dZ i t Припустимо, існує суто позитивний процес SDFmt,нормалізований доm0=1, такий, щоm$dS_t^0=r_tS_t^0dt$$i=1,\ldots,n$$Z_t^i$

$$dS_t^i=\mu_t^idt+\sigma_t^idZ_t^i$$ $m_t$$m_0=1$ - мартингейл для кожного i (в основному визначення SDF) і де d m t = ν t d t + ψ t ⋅ d Z t (я використовую ⋅ як крапковий продукт, що буде зручно.)$m_tS_t^i$$i$ $$dm_t=\nu_t dt+\psi_t\cdot dZ_t$$ $\cdot$

Нарешті, нехай -вимірний вектор θ t є нашим портфоліо в момент часу t , такий, що чиста вартість A t задається A t = θ t ⋅ S t . Припустимо, що A 0 є фіксованим і що далі ми маємо d A t = θ t ⋅ d S t Тепер я сформулюю мету, яка відображає сутність повних ринків. Припустимо, що світ закінчується часом T , і ми хочемо, щоб чиста вартість A $n+1$$\theta_t$$t$$A_t$$A_t=\theta_t\cdot S_t$$A_0$

$$dA_t=\theta_t\cdot dS_t$$ $T$$A_T$рівній певної стохастичною , який може залежати від повної історії аж до моменту часу T . Припустимо , що A 0 = E 0 [ м T Y ] , так що в світі з повним ринках ми могли б (при т = 0 ) використовувати наше початкове багатство A 0 , щоб купити час т = Т виплати Y . При відсутності цих прямих повних ринків, питання в тому , чи є все - таки деяка стратегія портфель thetas ; т , що дозволить нам отримати A $Y$$T$$A_0=E_0[m_TY]$$t=0$$A_0$$t=T$$Y$ $\theta_t$ у всіх штатах світу. І відповідь у цьому налаштуванні - так.$A_T=Y$

$d(m_tA_t)=\theta_t\cdot d(m_tS_t)$$m_tS_t$$m_tA_t$$A_T=Y\Longleftrightarrow m_TA_T=m_TY$

$$m_tA_t=E_t[m_TY]$$ $t\in[0,T]$$t=0$

$E_t[m_TY]$

$$E_t[m_TY]=E_0[m_TY]+\int_0^t \phi_s\cdot dZ_s$$ $\phi_s$$d(m_tA_t)=\phi_t\cdot dZ_t$ $$d(m_tA_t)=\sum_i (m_t\theta_t^i \sigma_t^i +A_t\psi_t^i)dZ_t^i$$ $m_t\theta_t^i\sigma_t^i +A_t\psi_t^i=\phi_t^i$$i=1,\ldots,n$$\theta_t^i$ $$\theta_t^i=\frac{\phi_t^i-A_t\psi_t^i}{m_t\sigma_t^i}$$ $\theta_t^0$$A_t=\theta_t\cdot S_t$

$A_t$$m_tA_t=E_t[m_TY]$$m_t$$dZ_t^i$$\theta_t$$dA_t$$dZ_t^i$$n$$n$

Я давно маю на увазі це повідомлення. Я натрапив на це і подумав, що це може додати трохи розуміння. Цей приклад з "Теорії цін на фінансові активи" від Мунка.

Розглянемо наступний малюнок. Скільки активів нам потрібно для повноцінного ринку?

$N$$N$

(i) невизначеність виявляється не повністю відразу, але потроху, і (ii) ми можемо динамічно торгувати активами. У прикладі є три можливі переходи економіки від часу 0 до часу 1. З нашого одноперіодичного аналізу ми знаємо, що трьох достатньо різних активів достатньо, щоб «відбити» цю невизначеність. Час від 1 до 2 є або двома, трьома, або одним можливим переходом економіки, залежно від того, в якому стані знаходиться економіка в часі 1. Щонайбільше, нам потрібні три достатньо різних активів, щоб виправити невизначеність за цей період. Загалом ми можемо генерувати будь-який процес дивідендів, якщо просто мати доступ до трьох достатньо різних активів в обидва періоди.

У випадку загальної версії мультиноміального дерева більш загального ринку з дискретним часом з кінцевим станом ми можемо для кожного вузла дерева визначити число, що охоплює, як кількість гілок піддірева, що покидає цей вузол. Тоді ринок завершується, якщо для будь-якого вузла в дереві кількість лінійно незалежних торгуваних активів протягом наступного періоду дорівнює кількості, що охоплюється.

Тепер, у випадку моделі безперервного часу, коли невизначеність породжується d-мірним стандартним броунівським рухом, аргумент є складним, але Мунк дає певну думку на основі попереднього обговорення.

Результат є досить інтуїтивним, враховуючи такі спостереження:

1. Для нескінченних змін за мить мають значення лише засоби та відхилення.
2. $dz_i$$d+1$$dz_t$$dz_t$$dt$$\epsilon$$\sqrt{dt}$$1/2$$-\sqrt{dt}$$1/2$
3. Безперервна торгівля, ми можемо коригувати наше вплив на екзогенні поштовхи щоразу.

$d+1$$d+1$