Що стосується лінеаризованої журналом нової кейнсіанської моделі, що означають , , ?

Це може бути дивним питанням, але мене, на жаль, бентежать терміни. Припустимо, нова-кейнсіанська модель з лінеарним журналом, як запропонував тут Галі: http://crei.cat/people/gali/pdf_files/monograph/slides-ch3.pdf

Перше моє запитання полягає в тому, що, мабуть, стійке значення передбачається лінеаризацією , виводу, але це постійне значення чи весь постійний вихідний шлях? Як як розвиватиметься виробництво, якщо розвивається без стохастичних факторів та помилок відповідно до довгострокової природної норми?Y t Y Y Y $Y$$Y_t$$Y$$Y$$Y_t$

Моє друге питання, пов’язане з першим питанням, полягає в тому, чи відноситься до загальної продукції чи до нормалізованого випуску. Тобто, якщо економіка матиме позитивний темп зростання випуску, чи зросте ? Або це нормалізований вихід, який не змінюється без стохастичних елементів?Y $Y_t$$Y_t$

Моє третє запитання: що насправді означає . Як я розумію, це просто . Це правильно? log Y $y_t$$\log Y_t$

Факт, що існує рівняння споживання ейлерів, схоже, підтримує інтуїцію того, що - це постійний вихідний шлях, а не постійне постійне значення, оскільки реальна процентна ставка часто є позитивною для економіки. Моя плутанина зникає звідси, і я не впевнений, чи правильно це розуміння.$Y$

Лінеаризація журналів здійснюється в сусідньому сталому стані з нульовою інфляцією, постійним випуском та постійними надбавками над граничними витратами, як зазначено на слайді 11 презентації Galí, яку ви посилаєте. Отже, дійсно має на меті бути постійною величиною, рівнем сталого виходу, навколо якого проводиться лінеаризація журналу. - це лише рівень загальної продукції в періоді , тоді як - це, як ви говорите, значення журналу загального випуску.Y t t y t = log Y $Y$$Y_t$$t$$y_t=\log Y_t$

Кілька додаткових моментів, які здаються актуальними тут:

• Це виведення основної нової кейнсіанської моделі виконується за умови припущення, що не спостерігається рівномірного зростання випуску в стаціонарному режимі. Ми можемо бути впевнені лише в тому, що лінійно-лінійні рівняння є приблизно правильними для ситуацій, коли будь-яке відхилення від цього стабільного стану з нульовим зростанням досить мало. Очевидно, оскільки ми живемо у світі з помітно позитивним зростанням тенденцій, це потенційно є проблемою - тож це з вашої сторони є дуже вагомим питанням.
• Як це буває, я вважаю, що рівняння дуже схожі, коли ми проводимо лінеарнізацію навколо стабільного стану з позитивним зростанням продуктивності в тренді (але зберігаючи припущення про інфляцію нульової тенденції). Зокрема, коли зазначено з точки зору розриву виробництва та природної ставки інтересу, як у рівнянні Галі (10), міжтемпоральне рівняння Ейлера точно таке ж (хоча зауважте, що стаціонарна природна норма вище, де - темп зростання продуктивності в журналі). Крива Філіпса в Нью-Кейнсіані трохи менше: у випадку вподобань журналу є кілька приємних скасування, і ми отримуємо абсолютно той самий NKPC, але для іншихg a σ = 1 σ $r^n=\rho+\sigma \psi_{ya}g_a$$g_a$$\sigma=1$$\sigma$ставка дисконтування на майбутню інфляцію вже не . Однак, це все набагато більше дратує, тому Галі уникав цього простої експозиції і дотримувався стабільного нульового зростання.$\beta$
• Як було сказано вище, ні , , ні є "нормалізованими результатами" будь-якого типу. Однак вихідний розрив визначений у рівнянні Галі (7), фактично нормалізується вихід журналу, віднімаючи з журналу "природний вихід" якого ми очікували б у гнучкому -ціновий світ із заданою продуктивністю журналу . У цьому сенсі модель може вміщувати коливання продуктивності; але, як було сказано вище, якщо ці коливання занадто великі, то лінійна лінеаризація навколо зростання нульової тенденції починає руйнуватися, і якщо ми повинні переписати NKPC в іншій формі, щоб це врахувати.Y t y t ˜ y t ≡ y t - y n t y n t a t σ ≠ $Y$$Y_t$$y_t$$\tilde{y}_t\equiv y_t-y_t^n$$y_t^n$$a_t$$\sigma\neq 1$
• Нарешті, я трохи збентежений останнім пунктом, але ви, мабуть, натякаєте на те, що модель може мати позитивний темп зростання, «оскільки реальна процентна ставка часто є позитивною для економіки». Це неправильне розуміння: стаціонарна реальна процентна ставка в цій моделі є позитивною, оскільки агенти в моделі мають перевагу в чистому часі, із ставкою дисконтування . Якщо ви подивитесь на рівняння Галі (10), ви бачите, що коли немає продуктивності, зміна "природної" реальної процентної ставки є , де .$\beta<1$$r_t^n = \rho$$\rho=-\log \beta$

Наступний пост дещо легше пояснює, що саме відбувається, коли ми входимо лінеаризувати модель.

http://economictheoryblog.com/2012/06/22/latexgx_t/

Переглядаючи поданий приклад, слід дати зрозуміти, що таке окремі кроки.

Повне розкриття: Я не читав лекційних записок, які ви надали особливо ретельно, але, думаю, можу відповісти на ваше запитання.

Редагувати: Вгору, не уважно читаючи посилання, яке надає питання, я щось пропустив.

Стандартні нові кейнсіанські моделі (наприклад, представлена ​​Галі) моделюються без зростання. Якщо ви записуєте модель, то ви можете представити її як різницеве ​​рівняння:

$$0 = E_t \left[ F(X_{t+1}, X_t, X_{t-1}, Z_{t}) \right]$$

де містить усі відповідні змінні, а представляють потрясіння для економіки. "Стаціонарний стан" зазвичай відноситься до стану світу, де є постійним (подумайте, стабільне рішення різниці / диференціального рівняння) і , таким чином, ви можете записати це як рішення для:$X_t$$Z_t$$X_t$$Z_t = 0$

$$0 = F(X, X, X, 0)$$

у такому випадку буде стаціонарним значенням (зауважте, що не підписуються під час - іноді також робиться шляхом позначення стаціонарного стану з накладними барами ). Це те, що він називає і це постійне значення.$X$$\bar{X}$$Y$

Щодо другого питання, я не читав уважно, тому я не можу бути впевненим на 100%, але зазвичай, коли змінна записується як вона посилається на фактичне значення, яке приймається (але якщо ви вирішили модель та точно моделювали її , це значення, яке воно матиме).$X_t$

Щодо третього питання, я думаю, що глибше розуміння лінеаризації журналу відповість на вас. Лінійка журналів в основі - це просто розширення Тейлора навколо стаціонарного стану. Розглянемо загальне рівняння . Є 3 основних кроків до лог-линеаризация (оновлюється моєї пам'яті тут ).$f(X_t, Y_t) = g(Z_t)$

• Беріть журнали
• Розширення Тейлора першого замовлення
• Алгебра

Ми спочатку беремо журнали,

$$\ln(f(X_t, Y_t)) = \ln(g(Z_t))$$

Якщо ми зробимо розширення Тейлора першого порядку навколо стаціонарного стану, тоді ми можемо написати:

$$\ln(f(X_t, Y_t)) \approx \ln(f(X, Y)) + \frac{f_x(X, Y)}{f(X, Y)} (X_t - X) + \frac{f_y(X, Y)}{f(X, Y)} (Y_t - Y)$$

$$\ln(g(Z_t)) \approx \ln(g(Z)) + \frac{g_z(Z)}{g(Z)} (Z_t - Z)$$

Таким чином ми можемо написати:

$$\ln(f(X, Y)) + \frac{f_x(X, Y)}{f(X, Y)} (X_t - X) + \frac{f_y(X, Y)}{f(X, Y)} (Y_t - Y) \approx \ln(g(Z)) + \frac{g_z(Z)}{g(Z)} (Z_t - Z)$$

Нагадаємо, що в стаціонарному стані і я також помножуватимуться на одне в декількох місцях ( тощо ...), так$f(X, Y) = g(Z)$$\frac{X}{X}$

$$\frac{X f_x(X, Y)}{f(X, Y)} \frac{(X_t - X)}{X} + \frac{Y f_y(X, Y)}{f(X, Y)} \frac{(Y_t - Y)}{Y} \approx \frac{Z g_z(Z)}{g(Z)} \frac{(Z_t - Z)}{Z}$$

Тепер визначимо , , і . Це процентне відхилення від (і відповідно для та ). Тоді ви можете записати лінійне рівняння журналу як:$\hat{x_t} := \frac{(X_t - X)}{X}$$\hat{y_t} = \frac{(Y_t - Y)}{Y}$$\hat{z_t} := \frac{(Z_t - Z)}{Z}$$X_t$$X$$Y_t$$Z_t$

$$\frac{X f_x(X, Y)}{f(X, Y)} \hat{x_t} + \frac{Y f_y(X, Y)}{f(X, Y)} \hat{y_t} \approx \frac{Z g_z(Z)}{g(Z)} \hat{z_t}$$

Дві фінальні речі. По-перше, одна тонкість, яка заставила мене опікуватися в перший раз, коли я переключався між відсотковим відхиленням і справжніми значеннями, і ви, можливо, захочете знати про це; значення, які зазвичай не є негативними, можуть бути негативними, оскільки це просто означає, що це відсоток нижче сталого. По-друге, функціональні форми, як правило, спрощують їх досить добре, як ви, напевно, бачили в представлених лінійних рівняннях журналу.

У цьому прикладі Галі використовує як видно в іншій відповіді, тому, сподіваємось, це дає певну інтуїцію щодо того, що відбувається в інших місцях.$y_t := \log Y_t$

Сподіваюся, що це допомогло.