Де живуть багаті та бідні у місті? (Обчислення)

Я читаю « Міста, агломерація та просторова рівновага » Еда Глізера.

Люди живуть у моноцентричному місті, де споживачі неоднорідного доходу $y$ працюють у центрі міста. Вони купують житло $H(y)$ за ціною $p(d)$ на відстані $d$ від центру, несучи транспортні витрати $t(y)d$ під час поїздок на роботу.

Споживачі мають корисну функцію:

$U(C,H)=v(y - t(y)d - p(d)H(y),H(y))$

Бюджетне обмеження:

$C = y - t(y)d - p(d)H(y)$ де C - витрата за вирахуванням транспорту та житла.

Умова дотику означає:

$\frac{U_1}{U_2} = p(d)$

де підпис 1 позначає часткову диференціацію wrt першого аргументу і т.д.

За припущенням просторової рівноваги, $\frac{dU}{dd}=0$: орендної плати не можна отримати за допомогою зміни місця розташування.

$\frac{dU}{dd} = U_1(-t(y)-p'(d)H(y))=0$

$\therefore p'(d)=\frac{-t(y)}{H(y)}$$d$

Якщо еластичність доходів від житла більша, ніж транспортна (тобто зростає більше, ніж ), багаті (вищі ) будуть жити в передмісті. Математично знаменник стає більшим, ніж чисельник, і градієнт ціни менш крутий. Готовність платити зменшується менше, як відстань для багатих.$H(y)$$y$$t(y)$$y$

Потім книга визначає дохід, пов'язаний з кожною дистанцією і знову диференціюється, щоб знайти умову другого порядку, .$y(d)$$p''(d)>0$

У книзі зазначено, що це:

$p''(d)=\frac{t(y)H'(y)-H(y)t'(y)}{y'(d)}>0$

Але я вважаю, що це неправильно.

$p''(d)=\frac{(t(y)H'(y)-H(y)t'(y))y'(d)}{H^2(y)}>0$

Я прав?

Крім того, як ви можете ігнорувати той факт, що при обчисленні умови 1-го порядку, потім введіть його, коли ви диференціюєте, щоб знайти умову 2-го порядку?$y=y(d)$

Якщо ви не повинні вказати і диференціювати двічі?$U(y(d)-t(y(d))d-p(d)H(y(d)),H(y(d)))$

Здається, ви посилаєтесь на розділ під назвою неоднорідність доходів у розділі 2 книги, про який ви згадуєте (с. 33-40).

$p''(d)=\frac{t(y)H'(y)-H(y)t'(y)}{y'(d)}$ в цьому випадку базується на "більш простої версії моделі [що] передбачає, що споживання житла дорівнює і є функцією доходу, але не ціною або відстані "(стор. 35). Іншими словами, приймаючи похідне (першого чи другого порядку) wrt , ви можете трактувати як постійну.$H(y)$$p$$d$$H(y)$