Виведення міжчасового бюджетного обмеження з обмеження потоку

Я намагаюся навчитися розв'язувати різницеві рівняння для виведення міжчасових бюджетних обмежень. Розгляньте обмеження бюджету бюджету уряду:

$$ frac {B_ {t} -B_ {t-1}} {p_ {t}} + -i_ {t-1} frac {B_ {t-1}} {p_ {t}} = 0 $$

де $ s_ {t} $ є реальними податками за вирахуванням державного споживання. Я переписую це як

$ {f_ {R_ {t} B_ {t-1} + M_ {t-1}} {p_ {t}} = frac {B_ {t} s_ {t} $$

де $ R_ {t} $ - загальна номінальна процентна ставка.

Тепер я зовсім загубився. Я думаю, що мене збиває з пантелику те, що я маю $ t-1 $ і $ t $ термінів з лівого боку. Приклади, які я пробував раніше, зазвичай знаходяться у формі $ a_ {t} = a_ {t + 1} + b_ {t} + (...) $, який я потім вирішу "вперед", підставляючи $ a_ {t + 1} $ знову і знову, поки я не побачу, що шаблон розвивається. Але в цьому випадку я не можу переписати LHS належним чином.

Будь-які думки про те, як я повинен діяти? І якщо є якісь книги, які проходять через різницеві рівняння, я б дуже зацікавився деякими іменами, оскільки я сам себе навчаю досі.

EDIT: Завдяки @luchonacho я отримав наступне:

$ B_ {t} = frac {B_ {t + T}} {R_ {t + 1} R_ {t + 2} ... R_ {t + T}} + frac {D_ {t + T}} {R_ {t + 1} R_ {t + 2} ... R_ {t + T}} ... frac {D_ {t + 1}} {R_ {t + 1}} $, оскільки ми знаходимося в упродовж світового періоду я пишу це як "

$ B_ {t} = lim_ {T інтенсивні} frac {B_ {t + T}} {R_ {t + 1} R_ {t + 2} ... R_ {t + T}} + sum = limit_ {j = 1} ^ {infty} frac {D_ {t + j}} {prod_ {s = 1} ^ {j} R_ {t + s}} $

Я міг би переплутати нотацію підсумовування / продукту, але це один з виразів, які я бачив для інтертемпорального обмеження. Проте інший поширений спосіб, який я бачив, написаний таким чином:

Ігноруйте праву частину, оскільки вона приймає функціональну форму функції корисності. Я зацікавлений в отриманні виразу як з $ B_ {t-1} $, так і з $ M_ {t-1} $ на LHS. Чи є спосіб, я можу перейти від вислову, отриманого вище, до того, з яким і $ B_ {t-1}, M_ {t-1} $? Я зацікавлений у отриманні цього, тому що я хочу висловити оцінку всіх зобов'язань уряду.

Візьміть друге рівняння, перемістіть його вперед на один період і переставляйте. Ви отримуєте:

$$ B_t = frac {p_ {t + 1} s_ {t + 1} + Дельта M_ {t + 1}} {R_ {t + 1}} + {t + 1}} $$

Потім визначте номінальний первинний дефіцит як $ D_ {t + 1} = - (p_ {t + 1} s_ {t + 1} + Дельта M_ {t + 1}) $. Зазначене перетворюється на:

$$ B_t = - frac {D_ {t + 1}} {R_ {t + 1}} + frac {B_ {t + 1}} {R_ {t + 1}} $$

який має потрібний формат. Щоб знайти нескінченно-періодичне міжчасове бюджетне обмеження, просто виконайте пряме заміщення.

Позначення, які я використав (щодо дефіциту), береться з Вікенс , Глава 5. Вищезгадане приблизно дорівнює рівнянню (5.11) у книзі. Там автор має більш загальне вираження, яке включає інфляцію, зростання ВВП і співвідношення заборгованості до ВВП. Ваш приклад - це його спрощення. Я пропоную вам пройти Розділ 5.4 книги, яка дає дуже детальний аналіз державного бюджетного обмеження (він також дає рішення, яке ви шукаєте, у випадку, якщо ви хочете порівняти).

Щоб знайти кінцевий вираз, який ви шукаєте (після редагування), візьміть друге рівняння і замініть $ B_t $ на нескінченно-часовий міжчасовий бюджетний обмеження:

$$ frac {R_ {t} B_ {t-1} + M_ {t-1}} {p_ {t}} = frac {B ^ * _ {t} + M_ {t}} {p_ {t }} + s_ {t} $$

де $ B ^ * _ t $ є результатом передньої вправи заміщення.