Диференціація значущої функції у Бердета Мортенсена (1998)

В даний час я пробираюся через класичний документ Бердетта та Мортенсена про пошук роботи. Що має бути легким завданням пошуку виразу для заробітної плати, ускладнюється наявністю максимального оператора. Ми стикаємося з наступним рівнянням Беллмана щодо величини роботи, яка виплачує заробітну плату . Рівняння Беллмана є стандартними. Значення оплати праці складається із заробітної плати плюс очікуваного прибутку від пошуку та пошуку кращої роботи, дисконтованого на ймовірність, що пропозиція про роботу прийде разом плюс втрата через те, що втратити роботу без втрати, коли робота знищується за ставкою . Значення безробіття $w$ $w$ $w$ $\lambda_1$ $\delta$ $V_0$ складається з допомоги по безробіттю плюс очікуваного прибутку від працевлаштування, дисконтованого ймовірністю, що пропозиція прийде разом . Зауважте, ймовірність того, що пропозиція зроблена, відрізняється залежно від того, хтось вже працевлаштований чи безробітний. Розподіл пропозицій задається Оскільки збільшується в і не залежить від нього, ми знаємо заробітну плату існує таке, що якщо $b$ $\lambda_0$ $F$

r V_{1} (w) = w + λ_{1} [\int max {V_{1} (w), V_{1} (\tilde{x})} - V_{1} (w)] d F (\tilde{x}) + δ [V_{0} - V_{1} (w)]

$\begin{equation} rV_1(w)=w+\lambda_1\bigg[\int \max\{V_1(w),V_1(\tilde{x})\}-V_1(w)\bigg]\;dF(\tilde{x})+\delta [V_0-V_1(w)] \end{equation}$

r V_{0} = b + λ_{0} [\int max {V_{0}, V_{1} (\tilde{x})} d F (\tilde{x}) - V_{0}]

$\begin{equation}rV_0=b+\lambda_0 \bigg[\int \max\{V_0,V_1(\tilde{x})\}\;dF(\tilde{x})-V_0\bigg]\end{equation}$

V_{1} (w)

$V_1(w)$

w

$w$

V_{0}

$V_0$

w > R ⟹ V_{1} (w) > V_{0}

$w>R\implies V_1(w)>V_0$ ,

w < R ⟹ V_{1} (w) < V_{0}

$w<R\implies V_1(w)<V_0$ і

V_{1} (R) = V_{0}

$V_1(R)=V_0$ . Стандартні аргументи (інтеграція по частинах) показує, що

R - b = (λ_{0} - λ_{1}) \int_{R}^{\infty} V_{1}^{'} (\tilde{x}) [1 - F (\tilde{x})] d \tilde{x}

$\begin{equation} R-b=(\lambda_0-\lambda_1)\int_R^\infty V_1'(\tilde{x})[1-F(\tilde{x})]\;d\tilde{x} \end{equation}$ звідси я хотів би взяти похідну першого рівняння і вирішити для

V_{1}^{'} (w)

$V_1'(w)$ . Однак якщо я використовую правило інтеграції Лейбніца, мені потрібен інтегрант, щоб він був диференційованим. Максимум двох безперервних функцій зазвичай не можна диференціювати там, де вони рівні, тому у мене є проблема. Якщо припустити, що я інтегруюсь над усіма

\tilde{x} \geq w

$\tilde{x}\geq w$ то

V_{1} (\tilde{x}) \geq V_{1} (w)

$V_1(\tilde{x})\geq V_1(w)$ (пропозиції із заробітної плати, які змусять працівника змінити роботу), а результат випливає за правилом Лейбніца. Але в розподілі є заробітна плата, яка не буде прийнята, і ця похідна річ не буде стримана. Похідна

V^{'} (\tilde{x}) = \frac{1}{r + δ + λ_{1} (1 - F (\tilde{x}))}

$\begin{equation} V'(\tilde{x})=\frac{1}{r+\delta+\lambda_1(1-F(\tilde{x}))} \end{equation}$ Я думаю, що я Я щось пропускаю, але я не впевнений, що. Якщо хтось міг би дати мені будь-яку пораду, я б дуже цінував це.

labor-economics search-and-matching

— позначка
джерело

Відповіді:

Коли ви берете інтеграл оператора , я думаю, вам доведеться розділити інтеграл на два окремих інтеграли з різними опорами на них. $\max_{\{\cdot\}}$

Навіть якщо ваша ціннісна функція є складною і немає диференційованості, для вирішення проблеми оптимізації вам потрібна лише наступність для існування рішення.

— Кітсунська кіннота
джерело

Ось моя спроба, де я припускаю абсолютну верхню межу підтримки , для простоти. $F$ $F(\overline{w})=1$

Перепишіть перше рівняння як звідки

r V_{1} (w) = w + λ_{1} \int_{w}^{\bar{w}} V_{1} (\tilde{x}) d F (\tilde{x}) + \underset{I}{\underset{⏟}{λ_{1} \int_{0}^{w} V_{1} (w) d F (\tilde{x})}} - λ_{1} \int_{0}^{\bar{w}} V_{1} (w) d F (\tilde{x}) + δ [V_{0} - V_{1} (w)],

$\begin{equation} rV_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(\tilde{x})dF(\tilde{x}) +\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{I} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) +\delta[V_0-V_1(w)] \ , \end{equation}$

- λ_{1} \int_{0}^{\bar{w}} V_{1} (w) d F (\tilde{x}) = - λ_{1} \int_{w}^{\bar{w}} V_{1} (w) d F (\tilde{x}) - \underset{I I}{\underset{⏟}{λ_{1} \int_{0}^{w} V_{1} (w) d F (\tilde{x})}} .

$\begin{equation} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x})= -\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) -\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{II} \ . \end{equation}$

Умови і скасовують, так що впорядкування дає Якщо застосувати правило Лейбніца, знаємо, отримаємо звідки остання рівність випливає з . Розв’язування для дає потрібний розв'язок. $I$ $II$

(δ + r) V_{1} (w) = w + λ_{1} \int_{w}^{\bar{w}} [V_{1} (\tilde{x}) - V_{1} (w)] d F (\tilde{x}) + δ V_{0} .

$\begin{equation} (\delta +r)V_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}[V_1(\tilde{x})-V_1(w)]dF(\tilde{x}) +\delta V_0 \ . \end{equation}$

(δ + r) V_{1}^{'} (w) = 1 - λ_{1} \int_{w}^{\bar{w}} V_{1}^{'} (w) d F (\tilde{x}) = 1 - λ_{1} V_{1}^{'} (w) [1 - F (w)],

$\begin{equation} (\delta +r)V_1'(w)= 1-\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1'(w)dF(\tilde{x})=1-\lambda_1V_1'(w)[1-F(w)] \ , \end{equation}$

F (\bar{w}) = 1

$F(\overline{w})=1$

V_{1}^{'} (w)

$V_1'(w)$

— daniel_EDI
джерело