Коли виходить з ладу оптимальне управління (?)

Для того, щоб "задати своє запитання", я спочатку повинен вирішити модель. Я пропущу кілька кроків, але все-таки це неминуче зробить цю публікацію дуже довгою, тому це також є тестом, щоб дізнатися, чи подобається цій громаді такі питання.

Перш ніж почати, я уточнюю, що це може виглядати повністю як стандартна неокласична модель росту в постійному часі, але це не так : це стосується єдиної людини, яка не "представляє" нікого іншого в економіці навколо себе, економіки, яка не моделюється. Тут є «застосування оптимального керування до проблеми максимізації окремої людини». Йдеться про рамки та метод рішення Optimal Control.

Ми вирішуємо проблему максимізації міжчасної корисності малого бізнесмена, який володіє капіталом у своїй фірмі, в той час як він купує послуги праці на ідеально конкурентному ринку праці, і він продає свій товар (свіжі пончики) на ідеально конкурентному ринку товарів. Ми встановлюємо модель безперервно, без невизначеності (соціально-економічні умови стабільні) та з нескінченним горизонтом (бізнесмен передбачає багато майбутніх його копій поспіль):

max_{c, ℓ, k} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} \ln c d t s.t. \dot{k} = f (k, ℓ) - w ℓ - δ k - c lim_{t \to \infty} e^{- ρ t} λ (t) k (t) = 0

$\max_{c,\ell,k}\int_0^{\infty}e^{-\rho t}\ln c\,\text{d}t\\ \text{s.t.}\;\; \dot k = f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c\\ \lim_{t\rightarrow \infty}e^{-\rho t}\lambda(t) k(t) = 0$

де $c$ - споживання бізнесмена, $\ln c$ - миттєва корисність від споживання; $\rho>0$ - норма чистого часу, $k$ - капітал фірми, $\delta$ - норма амортизації капіталу, і $f(k,\ell)$ - це виробнича функція бізнесу. Подано початковий рівень капіталу, $k_0$ . Власне заняття бізнесменом бізнесом підпадає під капітал. Виробнича функція є стандартною неокласикою (постійне повернення до масштабу, позитивні граничні продукти, негативні другі частки, умови Інади). Обмеженнями є закон руху капіталу та умова Поперечності з використанням множника поточної величини.

Встановлення поточного значення гамільтонів

\hat{H} = \ln c + λ [f (k, ℓ) - w ℓ - δ k - c]

$\hat H = \ln c +\lambda[f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c]$

ми обчислюємо умови першого порядку

\frac{\partial \hat{H}}{\partial c} = 0 \Rightarrow \frac{1}{c} = λ \Rightarrow \frac{\dot{c}}{c} = - \frac{\dot{λ}}{λ}

$\frac {\partial \hat H}{\partial c} = 0 \Rightarrow \frac 1c =\lambda \Rightarrow \frac {\dot c}{c} = -\frac {\dot \lambda}{\lambda}$

\frac{\partial \hat{H}}{\partial ℓ} = 0 \Rightarrow λ [f_{ℓ} - w] = 0 \Rightarrow f_{ℓ} = w

$\frac {\partial \hat H}{\partial \ell} = 0 \Rightarrow \lambda [f_{\ell} -w]=0 \Rightarrow f_{\ell} =w$

\frac{\partial \hat{H}}{\partial k} = ρ λ - \dot{λ} \Rightarrow λ [f_{k} - δ] = ρ λ - \dot{λ}

$\frac {\partial \hat H}{\partial k} = \rho\lambda - \dot \lambda \Rightarrow \lambda [f_{k} -\delta]=\rho\lambda - \dot \lambda$

і поєднуючи їх, ми отримуємо закон еволюції споживання нашого бізнесмена,

\begin{matrix} (1) & \dot{c} = (f_{k} - δ - ρ) c \end{matrix}

$\dot c = \big(f_k-\delta -\rho \big)c \tag{1}$

З оптимального правила для попиту на робочу силу (статичний) і постійного повернення до значення масштабу ( ) отримуємо . Вставляючи це в закон руху капіталу, який ми отримуємо $\ell: f_{\ell} =w$ $f = f_kk + f_{\ell}\ell$ $f-w\ell = f_kk$

\begin{matrix} (2) & \dot{k} = f_{k} k - δ k - c \end{matrix}

$\dot k = f_kk - \delta k - c \tag {2}$

Рівняння і утворюють систему диференціальних рівнянь. Стаціонарні значення для споживання та капіталу бізнесмена є $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (3) & c^{*} = f_{к}^{*} к^{*} - δ к^{*}, к^{*} : f_{к}^{*} = δ + ρ \end{matrix}

$c^* = f_k^*k^* - \delta k^*,\;\;\; k^*: f^*_k = \delta +\rho \tag{3}$

\begin{matrix} (3а) & \Rightarrow c^{*} = ρ к^{*} \end{matrix}

$\Rightarrow c^* = \rho k^* \tag{3a}$

... що є досить знайомим виразом.

$k^*$ іноді називають рівнем капіталу «модифікованим золотим правилом». Якобіан системи, оціненої за стаціонарними значеннями, має негативний визначальний показник для будь-якого значення параметрів моделі , що є необхідною і достатньою умовою для демонстрації стабільності сідлового шляху.

Максимум локусу знаходиться в точці (іноді називається рівнем капіталу "золотим правилом") $\dot k =0$ $\tilde k$

\begin{matrix} (4) & \tilde{к} : f_{к к} (\tilde{к}) \tilde{к} + f_{к} (\tilde{к}) - δ = 0 \Rightarrow f_{к} (\tilde{к}) = δ - f_{к к} (\tilde{к}) \tilde{к} \end{matrix}

$\tilde k : f_{kk}(\tilde k)\tilde k + f_k(\tilde k) - \delta = 0\Rightarrow f_k(\tilde k) = \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag{4}$

Значення важливе як орієнтир: це рівень капіталу, де і знаходиться на максимумі (не в оптимальному або стаціонарному стані ). $\tilde k$ $\dot k =0$ $c$

локусів перетинають горизонтальну вісь фазової діаграми (що заходи капіталу) на стаціонарному рівень капіталу . $\dot c=0$ $k^*$

Якщо , що вимагає через негативні другі частки, у нас виникне "надмірне накопичення капіталу" (занадто багато пончиків): бізнесмен міг би насолоджуватися більш стійким- державне споживання з меншим рівнем капіталу. Використовуючи і маємо $k^* > \tilde k$ $f_k^* < f_k(\tilde k)$ $(3)$ $(4)$

f_{к}^{*} < f_{к} (\tilde{к}) \Rightarrow δ + ρ < δ - f_{к к} (\tilde{к}) \tilde{к}

$f_k^* < f_k(\tilde k) \Rightarrow \delta + \rho < \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k$

\begin{matrix} (5) & \Rightarrow ρ < - f_{k k} (\tilde{k}) \tilde{k} \end{matrix}

$\Rightarrow \rho < - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag {5}$

Нерівність є умовою неоптимального стаціонарного рівня капіталу. І річ у тому, що ми не можемо цього виключити . Це просто вимагає, щоб бізнесмен був "достатньо терплячим", з достатньо низькою швидкістю переваги чистого часу, але все-таки позитивною. $(5)$

Тут починається проблема: надмірне накопичення капіталу ефективно виключається в репрезентативній моделі агента. Це можливо в моделях покоління, що перекриваються, але, як ненавмисний наслідок на макроекономічному рівні, є одним з найбільш ранніх прикладів того, що макроекономіка може бути мікроосновною і все ще вести себе інакше, ніж мікросвіт.

Але наша модель не належить ні до однієї категорії: це модель часткового рівноваги одного агента в неявно неоднорідному середовищі - і загальна рівновага тут не змінить результатів: ця людина представляє лише себе. Тож проблема полягає в тому, що якщо дотримується, то рішення Optimal Control буде, очевидно, неоптимальним , тому що тут ми маємо єдину людину, єдину волю, єдиний розум: дивлячись на рішення, який скаже наш бізнесмен: " ей, цей метод марний, якщо я дотримуюсь його порад, я закінчуватимуться оптимальним рівнем капіталу ". $(5)$

І я не задоволений просто сказати: «Добре, Optimal Control не підходить для цієї проблеми, спробуйте інший метод», тому що я не можу зрозуміти, чому нам слід вважати це непридатним. Але якщо він підходить, тоді метод повинен сигналізувати про те, що щось не так, він повинен в якийсь момент вимагати, щоб не було дотримано , щоб можна було запропонувати рішення (якщо так трапляється, що не тримайте, все виглядає набрякло). $(5)$ $(5)$

Можна було б задатися питанням: "можливо, умова поперечності порушується, якщо виконується?" -але це не здається, що це так, оскільки , яке переходить до позитивної константи, тоді як переходить до нуль, вимагаючи лише того, що . $(5)$ $\lambda(t)k(t) = k(t)/c(t)$ $e^{-\rho t}$ $\rho>0$

Мої запитання:

1) Чи може хтось запропонувати тут деяке розуміння?

2) Буду вдячний, якщо хтось вирішив це за допомогою динамічного програмування та повідомив про результати.

ДОДАТОК
З математичної точки зору вирішальною відмінністю цієї моделі є те, що оптимізований закон руху капіталу, ек. включає не весь вихід як у стандартній моделі, а лише повернення до капіталу . І це відбувається тому, що ми розділили майнові права над результатами, яких слід очікувати в рамках "індивідуальної проблеми максимізації бізнесу". $(2)$ $f(k)$ $f_kk$

economic-growth optimal-control dynamic-programming

— Алекос Пападопулос
джерело

Я не впевнений, що ви маєте на увазі, коли ви говорите "максимум хтоt = 0 локусу". Максимум щодо чого? Крім того, коли ви обчислюєте (4), чи не слід ви повністю розмежовувати (2) - тобто чи не слід також вирахувати зміну c, яка необхідна для того, щоб хтоt = 0 все-таки задовольнився після зміни k?

— всюдисущий

@ Унікальний максимум щодо капіталу. Саме так малюються фазові діаграми, але я не міг включити сюди також ці розрахунки. Для другого питання: походить від встановлення у та вираження споживання як функції капіталу, ( не оцінюється за стаціонарним значенням). Для отримання форми цього локусу ми диференціюємо його відносно капіталу.

(4)

$(4)$

\dot{k} = 0

$\dot k =0$

(2)

$(2)$

c = f_{k} k - δ k

$c = f_kk-\delta k$

— Алекос Пападопулос

Я не перевірив все це, але одна проблема, яку я бачу, полягає в тому, що умова оптимальності праці визначає (за КРС) співвідношення капіталу / праці, яке, в свою чергу, визначає граничний продукт капіталу, який, таким чином, буде постійним на оптимальному шляху. Потім модель еквівалентна стандартній проблемі економії споживання з екзогенною процентною ставкою, тому, якщо MPK - дельта> rho, споживання агента буде зростати з постійною швидкістю (тобто немає сталого стану).

— ivansml

@ivansml. Дякуємо за ваш внесок. Але рішення не говорить про те, що . Стаціонарний стан знаходиться в точці, де , eq. . Проблема полягає в тому, якому рівню капіталу відповідає цей стаціонарний стан і чи буде він вище або нижче рівня "золотого правила" .

f_{k} - δ > ρ

$f_k -\delta >\rho$

f_{k} - δ = ρ

$f_k -\delta = \rho$

(3)

$(3)$

\tilde{k}

$\tilde k$

— Алекос Пападопулос

Тільки зараз я помітив це питання досить старе ... сподівання, що це не має значення. Повернутися до теми - повинен визначатися робочим FOC. Стаціонарний стан буде існувати лише в тому випадку, якщо це значення також дорівнює , тобто за збігом обставин (або деяким загальним врахуванням рівноваги). Якщо він вищий, агент буде накопичувати капітал на невизначений термін і його споживання зростає, якщо він нижчий, він буде накопичувати капітал і його споживання падає. Це насправді все завдяки припущенню CRS - функція "доходу" лінійна в коли фірма оптимізується над робочою силою, тому можливе стабільне зростання.

f_{k}

$f_k$

f_{k}

$f_k$

ρ + δ

$\rho+\delta$

f (k, ℓ) - w ℓ

$f(k,\ell) - w \ell$

k

$k$

— ivansml

Відповіді:

Я вважаю, що проблема полягає в тому, що стаціонарний стан може не існувати, а система замість цього демонструє стабільний ріст (залежно від параметрів).

Причина полягає в тому, що модель еквівалентна стандартній проблемі економії споживання з екзогенною та постійною процентною ставкою. Щоб побачити це, спочатку розглянемо умову першого порядку вибору праці (тут є частковою похідною від wrt. аргументу). Використовуючи визначення постійної віддачі, граничним продуктом праці є яка є функцією лише співвідношення капіталу та праці. Якщо заробітна плата є постійною, FOC праці визначає однозначно оптимальний $f_2(k,\ell) = w$ $f_i$ $f$ $i$

\frac{\partial}{\partial ℓ} f (k, ℓ) = \frac{\partial}{\partial ℓ} [f (\frac{k}{ℓ}, 1) ℓ] = f_{1} (\frac{k}{ℓ}, 1) \frac{- k}{ℓ} + f (\frac{k}{ℓ}, 1)

$\frac{\partial }{\partial \ell} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial \ell} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \frac{-k}{\ell} + f \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$

k / ℓ

$k/\ell$ співвідношення як функція заробітної плати та інших параметрів. Оскільки граничний добуток капіталу також залежить від , воно буде постійним по оптимальному шляху. Позначимо це значення граничного добутку , а зворотну мінуту амортизації . Тоді рівняння (1) - (2) для динаміки капіталу та споживання і конкретне рішення, яке задовольняє умові поперечності, повинно бути

w

$w$

\frac{\partial}{\partial k} f (k, ℓ) = \frac{\partial}{\partial k} [f (\frac{k}{ℓ}, 1) ℓ] = f_{1} (\frac{k}{ℓ}, 1)

$\frac{\partial }{\partial k} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial k} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$

k / ℓ

$k/\ell$

r^{*}

$r^*$

r = r^{*} - δ

$r = r^* - \delta$

\begin{aligned} {\dot{c}}_{t} & = (r - ρ) c_{t} \\ {\dot{k}}_{t} & = r k_{t} - c_{t} \end{aligned}

$\begin{split} \dot c_t &= (r - \rho) c_t \\ \dot k_t &= r k_t - c_t \end{split}$

c_{t} = ρ k_{t}

$c_t = \rho k_t$ з заданим , тобто в кожну мить споживається постійна частина багатства. І капітал, і споживання зростають зі швидкістю , тому немає стійкого стану, якщо дохідність капіталу (яка тут залежить від екзогенної ставки заробітної плати ) не дорівнює перевазі часу.

k_{0}

$k_0$

(r - ρ)

$(r-\rho)$

w

$w$

— ivansml
джерело

(+1) Дякую Я зараз беру це за відповідь.

— Алекос Пападопулос

чудова відповідь. в основному, коли робоча сила вибирається оптимально, функція прибутку стає лінійною в капіталі - так що ця модель зводиться до моделі АК, властивості якої (включаючи стійке зростання) добре зрозумілі.

— номінально жорсткий

@nominallyrigid Але лише якщо припустити, що заробітна плата залишається постійною . Пам'ятайте, що це не загальна рівновага, а крихітний індивідуальний плавання в океані економіки.

— Алекос Пападопулос

Я публікую це як відповідь, тому що він продовжується у відповіді користувача @ivansml ... це той, хто визначив вилов тут, улов я наївно не звернув уваги (хоча це вузький випадок, тоді як цікавий показник настає після. Тим не менш, з цим слід було розібратися).

Дійсно, при екзогенній ставці заробітної плати та ідеально конкурентній оптимізації попиту на робочу силу граничний продукт капіталу визначається лише параметрами моделі та ставкою заробітної плати. Для простого випадку, коли ми припускаємо, що ставка заробітної плати є постійною, аналіз @ivansml дотримується: модель стає ендогенним зростанням : граничний продукт капіталу є постійним, що потрібно для ендогенного росту, де немає стійкого стан у рівнях .

Позначаючи і , рівняння і ОП можна записати $\hat c = \dot c/c$ $\hat k = \dot k /k$ $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (1b) & \hat{c} = f_{k} - δ - ρ \end{matrix}

$\hat c = f_k-\delta -\rho \tag{1b}$

\begin{matrix} (2b) & \hat{k} = f_{k} - δ - c / k \end{matrix}

$\hat k = f_k - \delta - c/k \tag{2b}$

Оскільки постійний, темпи зростання споживання постійні - нульові, позитивні чи негативні, залежно від параметрів та заробітної плати. З іншого боку, диференціюючи стосовно отриманого часу $f_k$ $(2b)$

\dot{\hat{k}} = (\hat{k} - \hat{c}) \cdot (c / k)

$\dot {\hat k} = (\hat k - \hat c)\cdot (c/k)$

і очевидно, що для стаціонарного зростання ми хочемо , який з отримується лише, якщо . Неважко переконатись, що оскільки , єдиний спосіб, яким буде виконуватися умова поперечності, - це якщо споживання та капітал зростають або скорочуються з однаковою швидкістю (або залишаються постійними). $\hat k = \hat c$ $(2b)$ $c = \rho k$ $\lambda(t) = c(t)$

У власних ендогенних моделях росту, де ми вивчаємо всю економіку, ми просто припускаємо, що параметри моделі такі, що є позитивний темп зростання, тому що це ми спостерігаємо в реальному світі. Але тут у нас є лише одна людина. Отже, що ми можемо говорити нашому бізнесмену?

Якщо , темп зростання позитивний, і його споживання, і капітал повинні зростати "назавжди", підтримуючи постійне співвідношення. Якщо , швидкість зростання дорівнює нулю, і обидві змінні залишаються назавжди постійними. Якщо , темпи зростання негативні, і ми повинні входити в низхідну спіраль зменшення споживання та капіталу (завжди підтримуючи співвідношення ). $f_k-\delta -\rho >0$
$f_k-\delta -\rho =0$
$f_k-\delta -\rho <0$ $c= \rho k$

Це, має деяку інтуїцію, перевірка правомірності застосування оптимального управління: з огляду на інші параметри і рівень заробітної плати, тим більше «нетерпіння» (чим більше є) , тим більше можна буде , що людина буде відчувати зменшення рівня споживання, так як майбутнє, а значить, і інвестиції, не дуже йому до вподоби. Звичайно, монотонна низхідна спіраль може здатися не дуже реалістичною як рішення - але це дуже стилізована модель, що забезпечує по суті загальні тенденції в обов'язково високо формальній математичній мові. $\rho$

Дійсно цікава частина почнеться , якщо ми розглянемо зміну заробітну плату . Це може створити всілякі цікаві та складні динаміки для нашого маленького бізнесмена та його споживчо-інвестиційних рішень.

— Алекос Пападопулос
джерело

Я думаю, що ключове питання полягає в тому, чи є ця фірма єдиною фірмою в економіці. Якщо це так, то більше не правильно приймати як таке, як буде залежати від рішення власного накопичення капіталу. У цьому випадку слід здійснити заміну, яку ви зробили до рівняння (2) під час встановлення гамільтоніана. З іншого боку, якщо це одна з багатьох фірм, щоб рівень заробітної плати був екзогенним, то заміщення до рівня еквівалентної. (2) не дійсні. Я думаю , вам потрібно ретельно розрізняти big- , сукупний капітал в економіці, і мало- капіталу , обраний цього рішенням. $w$ $w$ $k$ $k$

— Джотірмой Бхаттачарія
джерело

Я суворо дивлюся на одну фірму, яка залишається занадто малою, щоб впливати на сукупність. Отже, ваш другий коментар є релевантним, де ви говорите "заміни перед рівняннями (2) недійсні". Я не бачу чому. Чи можете ви детальніше розібратися з цим питанням (бажано формально)? Дякую.

— Алекос Пападопулос

@AlecosPapadopoulos Я думаю, що проблема не в математичній, а в інтерпретації. Якщо моя фірма занадто мала, щоб впливати на економіку, чому слід ставитись так, що або для моєї фірми незалежно від , який, здається, є припущенням, яке , які ви робили раніше (2 ), а потім диференціювати RHS рівняння відносно .

w = f_{l}

$w=f_l$

r = f_{k}

$r=f_k$

k

$k$

\dot{k}

$\dot k$

k

$k$

— Jyotirmoy Bhattacharya

@JyotirmoyBhattacharya - це стандартний результат від прийняття конкурентних ринків.

— FooBar

@FooBar На конкурентному ринку ви вибираєте і щоб зробити і . Умови не дотримуються при довільних і .

k

$k$

l

$l$

w = f_{l}

$w=f_l$

r = f_{k}

$r=f_k$

l

$l$

k

$k$

— Jyotirmoy Bhattacharya

Гаразд, мені доведеться все-таки написати Гамільтоніан і зробити це ще довше.

— Алекос Пападопулос