Розуміння побудови стохастичних процесів

11

Я бачив стохастичні процеси, змодельовані / побудовані таким чином.

Розглянемо простір ймовірностей і нехай - (вимірюване) перетворення яке ми використовуємо для моделювання еволюції точки вибірки у часі. Нехай - випадковий вектор . Тоді випадковий процес $(\Omega, \mathcal F, Pr)$ $\mathbb S$ $\mathbb S: \Omega \rightarrow \Omega$ $\omega$ $X$ $X: \Omega \rightarrow \mathbb R^n$ $\{ X_t: t=0,1,...\}$ використовується для моделювання послідовності спостережень за формулою або $X_t(\omega) = X[\mathbb S^t(\omega)]$ $X_t = X \circ \mathbb S^t.$

Як слід зрозуміти точки вибірки та перетворення у цій конструкції? (Чи може бути чимось на зразок послідовності потрясінь у певних випадках?) $\omega \in \Omega$ $\mathbb S$ $\omega$

Для більшої конкретності, як би я записав ці два процеси в цю нотацію?

Процес 1: де .

\begin{matrix} (1) & X_{t + 1} = ρ X_{t} + ε_{t + 1} \end{matrix}

$X_{t+1} = \rho X_t + \varepsilon_{t+1} \tag{1}$

X_{0} = 0

$X_0 = 0$

Процес 2:

\begin{matrix} (2) & X_{t + 1} = ε_{t + 1} \end{matrix}

$X_{t+1} = \varepsilon_{t+1} \tag{2}$

— jmbejara
джерело

4

Ця конструкція, яку ви описуєте, не є повністю загальною. Фактично він характеризує строго стаціонарний часовий ряд. Ви бачите, що це зміна інваріантно. Цей оператор по суті є оператором зміни. $S$

Для порівняння, ось звичайне визначення процесів, скажімо, дискретного часу:

Визначення Стохастичний процес - це послідовність відображуваних карт Бореля на просторі ймовірностей . $\{ X_t \}$ $( \Omega, \mathcal{F}, \mu )$

Тепер для того, що ви описуєте, у вас є нерухома карта вимірюваної Бореля . Це основний показник , який розвивається в відповідно до . Карта індукує новий "поштовх-міра" (в теоретико-мірній мові) на , просто взявши передбачення: визначте міру по $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ $S$ $S$ $\Omega$ $\mu_S$

A \in F \overset{μ_{S}}{\mapsto} P r (S^{- 1} (A)) .

$A \in \mathcal{F} \stackrel{\mu_S}{\mapsto} Pr(S^{-1}(A)).$

$X: ( \Omega, \mathcal{F}, \mu_S) \rightarrow \mathbb{R}^n$ $X \circ S$ $\mathbb{R}^n$ $S^t$ $t$

$\omega$ $( \Omega, \mathcal{F}, Pr)$ $X$ $S$

$C[0, \infty)$ $\omega$ $\Omega$

$\Omega$ $\mathcal{F}$ $\sigma$ $Pr$ $Pr$

Довідка Ця характеристика / побудова за зміною строго стаціонарних часових рядів згадується в Асимптотичній теорії Білого для економетриків .

— Майкл
джерело

S

$\mathbb S$

P r (A) = P (S^{- 1} (A))

$Pr(A) = P(\mathbb S^{-1}(A))$

A \in F

$A \in \mathcal F$

S

$\mathbb S$

1

Ω

$\Omega$

Π R

$\Pi \mathbb{R}$

S

$S$

1

$\omega$

$\epsilon_t$

$\omega \in R,$ $S(\omega) = \omega,$ $X(S^t(\omega)) = S^t(\omega).$

Перший приклад - це розробка першого:

$\omega \in R^2,$ $S((\omega_1,\omega_2)) = (\rho \cdot \omega_1 + \omega_2,\omega_2),$ $X(S^t(\omega)) = (S^t(\omega))_1.$

Як ми бачили, сама операція S є досить неоднозначною і важко інтерпретувати. Однак слід зазначити, що він визначає міру збереження перетворення та зйомка під нею зображення створює набір з тією ж мірою. Тож ця функціональна динаміка вимірювання нашого державного простору у часі.

— Микита Торопов
джерело

1

$\mathbb{S}$ $\omega$ $X(\omega)$ $\omega$ $\mathbb{S}$ $X$ $\{X_t\}_{t=0}^\infty$

— Пат В.
джерело