Монополії - це лише математичне непорозуміння

Маленька дряпалка голови (і хороший приклад, чому нам слід бути обережними з нотацією).

Розглянемо прибуток, максимізуючи монополію, що вирішує ціну

$$\max \pi = PQ(P) - C(Q(P)) \tag{1}$$

Дотримуючись звичайних кроків ( див. Цю публікацію )

ми доходимо до важливого результату, що при максимізації прибутку цінова еластичність попиту повинна бути вище в абсолютних показниках, або нижчою в алгебраїчному вираженні. А саме за ціною, що максимізує прибуток$1$$-1$

$$\eta^* = \frac {\partial Q }{ \partial P}\cdot \frac {P}{Q} <-1 \Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P <-Q$$

$$\Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q <0 \tag{2}$$

Але є похідною і , загальний дохід. Тож , граничний дохід, і ми щойно отримали, що при максимізації ціни на прибуток і щоб мати еластичність більше в абсолютних показниках, ми повинні мати .$\frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q$$PQ(P)$$PQ(P) = TR$$\frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q = MR$$1$$MR^* <0$

Але ми також тепер, що в точці максимізації прибутку маємо .$MR^*=MC^*>0$

Тож рішення не існує, і тому ми робимо висновок, що монополії - це лише математичне непорозуміння.

Тепер я впав у біду (?), Щоб написати цей смішний пост, сподіваюся, що хтось увійде в кілька десятків секунд, необхідних для написання чіткої відповіді, щоб вказати, де криється фокус.

$PQ(P)=TR$ , загальний дохід.

PQ(P)P$\frac{∂Q}{∂P}P+Q$ є похідною від щодо .$PQ(P)$ $P$

Т Р Q$MR$ , Граничний дохід, є похідною від по відношенню до .$TR$ $Q$

Тож загалом$\frac{∂Q}{∂P}P+Q \neq MR$

Щоб доповнити точну відповідь @AdamBailey, метою цієї публікації було попередити зацікавлених читачів про наслідки зміни змінних рішень у нашому мисленні.

Ми звикли думати про Попит як про "ціну залежно від кількості" або "кількість залежно від ціни". Але з боку виробничих витрат ми автоматично схильні думати про вартість залежно від кількості, а не від ціни продажу.

Тому, навіть будучи трохи виснажливим із явною нотацією, окупається (запитайте хлопців щодо динамічної оптимізації, наприклад , книги Капуто ). У конкретному прикладі символи , , не розкривають змінну рішення, і саме тут базується помилка. Але якщо, ми писалиM R M $TR$$MR$$MC$

$$\max \pi = TR[Q(P)] - C[Q(P)]$$

ми б чітко сигналізували, що наша остаточна змінна рішень - ціна, і так

$$f.o.c: \;\;\;MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} - MC(Q)\frac {\partial Q}{\partial P} =0$$

$$\implies (MR(Q) - MC(Q))\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} =0 \implies MR(Q) = MC(Q)$$

в той же час ми це чітко бачимо

$$\frac {\partial TR}{\partial P} = MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} = \frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q$$

і так, що вимога до цінової еластичності попиту призводить до

$$\frac {\partial TR}{\partial P} = MR(P) = Q\frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q < 0 \implies MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} < 0 \implies MR(Q) >0$$

(оскільки ). Тож в оптимальній точці граничний дохід щодо кількості повинен бути позитивним, але граничний дохід щодо ціни повинен бути негативним.$\frac {\partial Q}{\partial P} <0$