Чому функція виробництва Cobb-Douglas настільки популярна?

11

Як відносно початківець кількісний аналітик / аналітик витрат, мені було запропоновано не раз оцінювати рівень продуктивності певної організації, а потім прогнозувати наступні пари періодів. Місце, в якому я працюю, є порівняно невеликим некомерційним (близько 30 осіб), присвяченим розповсюдженню пожертвувань банку та добровільним клопотанням, тож я не впевнений, чи фірма має щось спільне з цим.

Більшу частину часу мене запитували конкретні одиниці, а не відсоткові зміни чи еластичність, тому я змушений представити одну з двох виробничих функцій.

$f (x_{1}, . . ., x_{n}) = Σ_{i = 1}^{n} β_{i} x_{i}$ $f(x_1,...,x_n)=\Sigma_{i=1}^n\beta_i x_i$
$f (x_{1}, . . ., x_{n}) = γ min (x_{1}, . . ., x_{n})$ $f(x_1,...,x_n)=\gamma \min(x_1,...,x_n)$

Але коли я читаю економічну літературу, то бачу, що ковб дуглас (або якась його модифікація, як камінь-гері) весь час використовується.

Я знаю, що він має властивість математично показувати зменшення повернення до масштабу для одного фактора виробництва, однак Ім виникають труднощі бачити це в моїй роботі. Це виробнича функція виключно для виготовлення реальних товарів?

mathematical-economics production-function

— EconJohn
джерело

4

Я думаю, що одним із приємних властивостей функціонування компакт-дисків є те, що її параметри (експоненти на входах) захоплюють частку вхідних даних у вихідних даних, і тому їх можна легко відкалібрувати.

— Гер К. К.

2

Причина, чому виробничі функції Кобба Дугласа настільки популярні, випливає з того, що такі припущення виконуються, залишаючись статистично суворими ¹ :

Нагадаємо форму виробничої функції Кобб-Дугласа:

F (K, A L) = K^{α} (A L)^{1 - α}

$F(K,AL)=K^{\alpha}(AL)^{1-\alpha}$

де (тобто частка продукції, що йде на капітал) $0<\alpha <1$

$1)$ Позитивні граничні продукти:

\frac{\partial F (K, A L)}{\partial K} > 0, \frac{\partial F (K, A L)}{\partial (A L)} > 0

${\partial{F(K,AL)}\over{\partial K}}>0 \space , \space\space{\partial{F(K,AL)}\over{\partial (AL)}}>0$

$2)$ Зменшення граничних продуктів (як ви вже згадували)

\frac{\partial^{2} F (K, A L)}{\partial K^{2}} < 0, \frac{\partial^{2} F (K, A L)}{\partial (A L)^{2}} < 0

${\partial^2{F(K,AL)}\over{\partial K^2}}<0 \space , \space\space{\partial^2{F(K,AL)}\over{\partial (AL)^2}}<0$

$3)$ Постійне повернення до масштабу (саме так працює більшість виробничих процесів)

F (λ K, λ A L) = λ F (K, A L)

$F(\lambda K, \lambda AL)= \lambda F(K, AL)$

для будь-якого (напр., "Подвійний вхід подвійний випуск", двічі ") $\lambda \ge 0$ $\Rightarrow$

Сподіваюся, це допомагає !!

_{¹ Джерело: https://en.wikipedia.org/wiki/Cobb%E2%80%93Douglas_production_function}

— FreakconFrank
джерело

1

Як ви натякаєте на своє запитання, справжня основна причина (на мою думку), що лежить в основі популярності функції виробництва компакт-дисків - це математична зручність. Те, що сума є приємним, інтуїтивним поданням "повернення до масштабу", дуже зручно. $\alpha + \beta$

Я вважаю його використання таким же, як використання експоненціальних або енергетичних утиліт у математичному фінансі. Нереально? Можливо, але о так дружніше працювати.

0

Гаразд, я думаю, що я зробив багато неявних припущень, тому що мене збентежили ваші функції в останній відповіді, що зробило мою відповідь дуже заплутаною. Тому я намагаюся цього разу бути трохи більш чітким. Я розгляну лише вашу першу функцію.

Тепер, якщо це виробнича функція, то це входи, і у вас є лише один вихід. Тепер ваша виробнича функція має такі властивості: та . Це означає, що ваші дані повністю незалежні один від одного. Ви можете досягти одного виходу лише з або лише з . Це не має сенсу, якщо ваші кошти - це капітал і праця (принаймні, не поки ми повністю не автоматизуємо виробництво, де вам не потрібна людина ніде в процесі виробництва). Тому що якби в реальному світі будь-який з них 0, ви не отримали б результатів. $x_i$ $\frac{df}{dx_i}=\beta_i$ $\frac{df}{dx_jdx_i}=0$ $x_1$ $x_2$

Це враження змушує мене вважати, що ваші модельні методи виробництва, з яких випливає, що вони вже містять суміші капіталу та праці. У такому випадку ви просто оптимізуєте ці різні способи виробництва та вибрали найкращий. Той, який має найвище співвідношення до вартості. Тому що на рівні компанії граничні витрати, швидше за все, будуть постійними. $x_1$ $\beta_i$

Це розумна модель з точки зору компаній. Ви можете вибирати лише між тими способами виробництва, тому той факт, що ви зцілили капітал і працю, вас не стосується. Ви оптимізуєте функцію та вибираєте найкращий спосіб виробництва з урахуванням постійних витрат. (Передбачуване) спрощення полягає в тому, що ви не враховуєте, як розширення або виробництво змінює граничні витрати в межах виробничого методу.

(Якщо розширення буде в економічному масштабі, ви б збільшили заробітну плату працівників, зайнявши більшість із них, що в певний момент призведе до того, що ви виберете більш капітально важкий метод виробництва)

Економісти підходять до цього під іншим кутом зору: їх цікавить співвідношення капіталу / праці, а не конкретний метод виробництва. Вони хочуть, щоб функція, яка приймає капітал і працю як вклад, вибирала найкращий спосіб виробництва, враховуючи цей вхід, і повертає вихід. Їх припущення полягає в тому, що в такому масштабі існує стільки різних методів виробництва, що ви можете перебирати їх і в основному отримувати безперервну функцію в «Капіталі та праці».

Вони хочуть модель, яка має властивість яку надає функція Кобба-Дугласа. $\frac{df}{dx_jdx_i}>0$

Ви в основному порівнюєте імітацію частинок із моделюванням рідини. Рівняння для моделювання однієї молекули води будуть відрізнятися від моделювання потоку води. І може виглядати так, що один не має нічого спільного з іншим.

Інша можливість, про яку я подумав, полягала в тому, що ця функція - це фактично функція витрат на отримання результатів але тоді ви маєте фіксовану граничну вартість за визначенням. Знову ж таки, це припущення, яке розумно робити на мікрорівні, але не на макрорівні. $(x_1, ...,x_n)$ $x_i$

— Фелікс Б.
джерело

1

Дещо дивно, що "Кобб-Дуглас" ніде не фігурує у вашій відповіді.

— Giskard

Кобб-Дуглас - це функція моделювання сукупного випуску, що має вкладення праці та капіталу, та моделювання ефекту зміни частки капіталу / праці на виробництво. (зміна граничної продуктивності праці з урахуванням зміни капіталу) Я говорю про те, як ці міркування щодо частки можна відмовитися після оптимізації для виробництва однієї одиниці, оскільки граничні витрати можна приблизно оцінити як постійні для малих компаній.

— Фелікс Б.

0

Виробнича функція Кобба-Дугласа настільки популярна лише тому, що це одна з дуже небагатьох функцій, для якої можна чітко обчислити функції введення попиту (та виведення пропозиції). Виробнича функція Кобба-Дугласа зазвичай використовується на рівні бакалавра (лекції, іспити та вправи), оскільки ми можемо вирішити систему умов першого порядку. Однак ця функціональна форма є дуже обмежувальною, а її чинність емпірично відкидається. Так що на майстерних рівнях ми відновлюємо мікроекономічну теорію, використовуючи необмежені форми для виробничої функції (див., Наприклад, підручник Mas Colell та ін.), І використовуємо або теорему про імпліцитну функцію, або про теорію подвійності для отримання порівняльних статичних результатів.

— Бертран
джерело