Застосування функцій Trig в економіці?

14

Чи є в економіці додатки триггерних функцій (тобто , , )? $\sin(x)$ $\cos(x)$ $\tan(x)$

mathematical-economics

— EconJohn
джерело

2

Чому тебе хвилює?

— Майкл Грінекер

5

@MichaelGreinecker загальний інтерес.

— EconJohn

2

Відповідна статистика.stackexchange.com

— questions/

13

Основна властивість тригових функцій - їх циклічність. Тоді можна подумати, що вони можуть бути ідеальними в аналізі часових рядів для моделювання "коливань навколо тенденції". Я вважаю, що причини, які вони насправді не використовуються в такій обстановці, є

1) Вони є детермінованими функціями, тому вони не дозволяють коливанням бути стохастичними

2) Якщо дослідник хоче створити модель, яка створює коливання (коливання) навколо тренду вгору та вниз, він хоче отримати цю властивість з поведінкових та інших припущень моделі. Якби він використовував функцію тригера, він апріорі нав'язував би моделі шуканий теоретичний результат.

Натомість можна вибрати для різницево-диференціальних рівнянь. Там ми отримуємо коливання (притуплені чи ні), якщо якісь характерні корені є складними - і тоді з'являються триггерні функції, але як альтернативне подання, а не як блоки побудови.

— Алекос Пападопулос
джерело

2

Я не впевнений, що погодився б з вами. У часовій серії є область, що називається спектральним аналізом, яка полягає в основному у використанні тригенових функцій, перетворення Фур'є тощо. Ви дізнаєтесь, що ви можете розкласти стаціонарний часовий ряд на суму синусоїдальних компонентів з некоррельованими випадковими коефіцієнтами.

— Старий чоловік у морі.

3

@Anoldmaninthesea. Звичайно, добре, що ви це вказали (я б запропонував зробити відповідь з цього питання). Але спектральний аналіз в основному використовується для цілей атеоретичного прогнозування, а не для структурного економічного моделювання.

— Алекос Пападопулос

Алекос, на жаль, мені потрібно було б детально його вивчити, щоб дати хорошу відповідь. Можливо, у вихідні дні. : D

— Старий чоловік у морі.

1

Скажу лише, що я читав цю тему, і вона передбачає стохастичну інтеграцію (розкладання на низку синусоїдальних компонентів), про що я не маю жодного поняття ... Залишилося прочитане просто констатувало, що спектральний аналіз еквівалентний до звичайного аналізу часової області, але без деталізації. Я додаю цей коментар, щоб ви знали, що я не забув, і спробував, але просто не знаю достатньо. ;)

— Старий чоловік у морі.

1

@Anoldmaninthesea. Спробуйте розділ 2 Грейнджера та Ньюбольда "Прогнозування економічних часових рядів" (2-е видання). Це стара книга, але повна мудрості, реалізму та експозиційної сили (і не лише для спектрального аналізу).

— Алекос Пападопулос

12

$n$

— Адам Бейлі
джерело

11

Мені відомо, що серія Фур'є використовується в галузі фінансів та економетрії.

Методи трансформації Фур'є у фінансах

5

Pr ({\tilde{r}}_{t}) = {[\frac{π}{2} + \tan^{- 1} (\frac{μ}{γ})]}^{- 1} \frac{γ}{γ^{2} + ({\tilde{r}}_{t} - μ)^{2}} .

$\Pr(\tilde{r}_t)=\left[\frac{\pi}{2}+\tan^{-1}\left(\frac{\mu}{\gamma}\right)\right]^{-1}\frac{\gamma}{\gamma^2+(\tilde{r}_t-\mu)^2}.$

Для цього див .: Harris, DE (2017) Розподіл повернень. Журнал математичних фінансів, 7, 769-804.

Для повернень, обчислених як різниця журналів, повернення:

Pr (l o g (r_{t})) = \frac{1}{2 σ} sech (\frac{π ({\tilde{r}}_{t} - μ)}{2 σ})

$\Pr(log(r_t))=\frac{1}{2\sigma}\text{sech}\left(\frac{\pi(\tilde{r}_t-\mu)}{2\sigma}\right)$

— Дейв Харріс
джерело

4

Для конкретного прикладу того, як тригі (та зворотні тригги) функції можуть мати фінансові чи економічні додатки, ось один із "Аналіз фінансових часових рядів" Рюї С. Цей. Розглянемо модель AR (2):

r_{t} = ϕ_{0} + ϕ_{1} r_{t - 1} + ϕ_{2} r_{t - 2} + a_{t}

$r_t = \phi_0 + \phi_1 r_{t-1} + \phi_2 r_{t-2} +a_t$

Його функція автокореляції (ACF) задовольняє рівнянню різниці , де - оператор зворотного зсуву, тобто і . (Деякі люди вважають за краще написати замість оператора відставання.) $\rho_\ell = \operatorname{Corr}(r_t, r_{t-\ell})$ $(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2) \rho _ \ell = 0$ $B$ $B \rho_\ell = \rho_{\ell-1}$ $B^2 \rho_\ell = \rho_{\ell-2}$ $L$

Характерне рівняння другого порядку має характерні корені і задані: $1 - \phi_1 \omega - \phi_2 \omega^2 = 0$ $\omega_1$ $\omega_2$

ω = \frac{ϕ_{1} \pm \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}}}{- 2 ϕ_{2}}

$\omega = \frac{\phi_1 \pm \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{-2\phi_2}$

Якщо характерні корені справжні, поведінка - це суміш двох експоненціальних розпадів. Але якщо натомість дискримінант , то характерні корінці і утворюють складну сполучену пару, і на графіку АКФ буде проявлятись притуплені синусоїдальні хвилі. Щоб цитувати Цая: $\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$ $\omega_1$ $\omega_2$

У бізнесі та економічному застосуванні важливе значення мають складні характерні корені. Вони породжують поведінку ділових циклів. Тоді для економічних моделей часових рядів прийнято мати характерні комплексні коріння. Для моделі AR (2) ... з парою коренів складних характеристик середня довжина стохастичних циклів становить

$k = \frac{2 π}{\cos^{- 1} [ϕ_{1} / (2 \sqrt{- ϕ_{2}})]}$ $k = \frac{2 \pi}{\cos^{-1}[\phi_1 / (2\sqrt{-\phi_2})]}$
де косинус обернений у радіанах. Якщо записати складні рішення у , де , то маємо , і $a \pm bi$ $i=\sqrt{-1}$ $\phi_1 = 2a$ $\phi_2 = -(a^2 + b^2)$

$k = \frac{2 π}{\cos^{- 1} (a / \sqrt{a^{2} + b^{2}})}$ $k = \frac{2 \pi}{\cos^{-1}(a / \sqrt{a^2+b^2})}$

Зауважимо, що цей другий спосіб написання має набагато більш геометрично інтуїтивний спосіб мислення про обернений косинус. $k$

— Срібна рибка
джерело

Я цитував Цай дослівно, що "складні характерні корені важливі. Вони породжують поведінку ділових циклів", тому що я думаю, що до цього позову слід ставитися скептично - див. Відповідь Алекоса, але також, наприклад, коментарі Стефана Коласси тут . Цікаво, чи книга надто спрощена для своєї аудиторії (хоча текст на рівні випускників, акцент робиться на практиків). Однак, якщо тривалість циклів нестахастична, то формула дорівнює.

k

$k$

— Срібна рибка