Питання про виведення кривої постачання промисловості з коббо-дугласької виробничої функції

У мене є питання про належне виведення кривої постачання промисловості з кобб-Дугласа.

Функція виробництва подається як:

begin {рівняння} q_i = 2x_1 ^ {1/2} x_2 ^ {1/2} end {рівняння}

ціна $ x_1 $ введення становить $ w_1 = 1 $ і $ x_2 $ $ w_2 = 4 $

Ці кроки я використав, намагаючись вивести криву пропозиції:

Я використав загальновідомий факт, що технічна норма заміщення повинна дорівнювати факторним цінам так:

begin {рівняння} frac {text {MP} _ {x_1}} {{{u_1} {w_2} end {рівняння}

Таким чином, після заміни цін і граничних продуктів, які ми отримуємо від прийняття часткових похідних $ q_i $, ми отримуємо:

begin {рівняння} frac {x_1} {x_2} = frac {1} {4} {{} x_1 = 4x_2 end {рівняння}

Тепер я повернув це назад у cobb-douglas, щоб отримати:

begin {рівняння} q_i = 4x_2 text {або} frac {q_i} {4} = x_2 end {рівняння}

Тепер я просто використав загальне рівняння прибутку:

begin {рівняння} pi_i = pq_i - w_1x_1 -w_2 x_2 end {рівняння}

Я замінив рішення як для $ x_1 = 4x_2 $, так і для $ x_2 = q_i / 4 $, і я отримав:

begin {рівняння} pi_i = pq_i - 2q_i end {рівняння}

Так що моє мислення полягало в тому, що, вирішуючи для оптимального $ q_i * $ і множивши його на $ n $ - кількість фірм, я міг би отримати криву пропозиції. Але оскільки функція прибутку є лінійною, то $ q_i $ падає від виведення.

Будь ласка, хто-небудь може дати мені поради про те, як діяти?

Edit: Також я забув згадати, що передбачається, що промисловість є цілком конкурентоспроможною.

Ваш метод і числові розрахунки правильні.

Тоді добре відомий факт, що виробничі функції Cobb-Douglas (тобто експоненціальні з постійною прибутковістю до масштабу) призводять до лінійних функцій витрат, тобто до постійних граничних витрат і рівних середніх витрат, а також лінійних функцій прибутку Це означає, що прибуток у довгостроковій перспективі буде або нульовим, або нескінченним: якщо ціна вище $ 2 $ ($ = MC = AC $), кожна фірма хоче виробляти нескінченну кількість випуску. якщо вона дорівнює $ 2 $, фірми, які виробляють, будуть робити нульові прибутки. Якщо вона нижча $ 2 $, жодна фірма не буде виробляти, а прибуток знову буде нульовим.

На ринковому рівні припущення про досконалу конкуренцію (особливо бездохідне вступ) в свою чергу означає, що довгостроковій перспективі (немає фіксованих витрат) крива ринкової пропозиції буде горизонтальною при $ P = MC = AC $, а рівень випуску буде визначатися кривою попиту і споживчими перевагами. Вихід на одну фірму і, отже, кількість фірм залишається тут невизначеним.