Як довести динамічну неефективність у моделі Солоу?

Я знаю, що якщо капітал знаходиться нижче рівня золотого правила в моделі Солоу, то ми динамічно ефективні, і навпаки.

Як це доведено?

Я даю спочатку інтуїтивне пояснення словами, потім нижче доказ.

Визначте a Покращення Парето бути там, де споживання не є нижчим у кожному періоді і вище, принаймні в один період. Ми говорили, що ми динамічно ефективний якщо немає можливості покращити Парето і динамічно ефективний якщо є можливе покращення Парето.

Припустимо, ми починаємо вже в стаціонарному стані.

Пропозиція 1. Якщо рівень заощаджень нижче рівня золотого правила (або еквівалентно, стаціонарний капітал нижче рівня золотого правила), то ми динамічно ефективні.

Доказ. Якщо ми переходимо до більш низького рівня заощаджень, новий сталий рівень споживання буде нижчим, і тому це не може бути поліпшенням Парето.

І навпаки, якщо ми переходимо до більш високої норми заощаджень, то споживання в початковий період перемикання буде нижче, так що знову це не може бути поліпшенням Парето.

Пропозиція 2. Якщо рівень заощаджень вище рівня золотого правила (або еквівалентно, стаціонарний капітал вище рівня золотого правила), ми динамічно неефективні.

Доказ. Ми стверджуємо, що перехід до норми заощаджень золотих правил є вдосконаленням Парето.

По-перше, відзначимо, що при перемиканні новий сталий рівень споживання буде вищим.

Далі, зауважимо, що в початковий період (після того, як ми перейшли), споживання вище, ніж раніше, тому що ми знизили наш показник заощаджень.

Насправді, в початковий період споживання буде вище, ніж у новому стаціонарному стані. Тоді споживання монотонно падає до нового рівня сталого стану (який є вищим, ніж старий стаціонарний стан).

Загалом, переходячи на цю нижчу норму заощаджень, споживання в кожному періоді є вищим, ніж старий стаціонарний рівень (або іншими словами, ніж було б, якби ми не зробили перемикання). Таким чином, це покращення Парето