Припускаючи, що аукціон має чисте стратегічне рівновагу, ми можемо створити проблему таким чином:
Кожен претендент має значення $ v_i sim F $ на підтримку $ [підкреслити {v}, накласти {v}] $. Симетричне рівновага, яке ми припускаємо, є зростаючою безперервною функцією $ b (v) $.
Тепер уявіть собі ставки $ i $ ніби його значенням було $ widetilde {v} $. Тоді він виграє, якщо $ v_j & lt; \ t
$$ U_i = - [1-F (widetilde {v})] b (widetilde {v}) + \ t ліворуч (v_i-b (v_j) право) F '(v_j) dv_j $$.
Перший член - це виграш, якщо $ i $ програє (тоді він сплачує свою власну ставку, яка є $ b (widetilde {v}) $ sinc $ i $ з використанням стратегії торгів $ widetilde {v} $). Другий термін - це виграш, якщо він виграє (він платить ставку свого суперника, за умови, що значення його суперника менше, ніж $ widetilde {v} $).
Тепер ми обчислимо найкраще $ widetilde {v} $ для $ i $ для вибору шляхом обчислення умови першого порядку:
$$ frac {часткова U_i} {часткова widetilde {v}} = - [1-F (widetilde {v})] b '(widetilde {v}) + v F' (\ t }) = 0. $$
Ми знаємо, що в рівновазі має бути оптимальним, щоб $ i $ вибрав $ widetilde {v} = v_i $ (тобто, він повинен бути найкращим відповіддю для $ i $, щоб скористатися його передбачуваною стратегією, а не відхилятися від чужого стратегія):
$$ - [1-F (v)] b '(v) + v F' (v) = 0. $$
Таким чином,
$$ b (v) = b (підкреслити {v}) + int _ {підкреслити {v}} ^ v \ t $$
Ми можемо перевірити, що $$ b '(v) = frac {vF' (v)} {1-F (v)}> 0 $ $ як потрібно. Все, що нам потрібно, - це гранична умова до $ b (підкреслити {v}) $. Наприклад, ми можемо вважати природним, що $ b (підкреслити {v}) = 0 $, тому що $ underline {v} $ type знає, що він ніколи не може виграти аукціон.