Споживчий оптимум в економіці з континуумом товарів

Розглянемо економіку з континуумом товарів, з одним товаром для кожного пункту в . $[0,1]$

Припустимо, споживач бажає максимізувати відповідно до де - сума -го товар, що споживається, його ціна та грошовий дохід споживача.

U = \int_{0}^{1} c_{i}^{θ} d i 0 < θ < 1

$U = \int_0^1 c_i^\theta\,di\qquad 0<\theta<1$

\int_{0}^{1} p_{i} c_{i} d i = M

$\int_0^1 p_i c_i\,di = M$

c_{i}

$c_i$

i

$i$

p_{i}

$p_i$

M

$M$

Така проблема виникає, наприклад, у застосуванні моделі Діксіт-Стігліц до макроекономіки або міжнародної торгівлі.

Рішення цієї проблеми нібито де - константа, обрана для забезпечення виконання бюджетного обмеження.

c_{i} = A p_{i}^{\frac{1}{θ - 1}}

$c_i = Ap_i^{1 \over {\theta-1}}$

A

$A$

Я не дуже задоволений результатами цього результату, які використовують мультиплікатори Лагранжа аналогічно випадку обмеженої кількості товарів. Який був би абсолютно суворий математично метод отримання вищезазначеного результату?

Здається зрозумілим, що не існує унікального рішення, оскільки довільна зміна значень для кінцевої кількості значень залишить інтеграли у функції корисності та обмеження бюджету незмінними. Я сподіваюся, що цілком строга деривація також точно визначить цю ступінь нерівномірності. $c_i$ $i$

EDIT: У відповідь на коментарі @BKay, @Ubiquitous. Моя проблема з початком економіки з товарами та прийняття ліміту як полягає в тому, що це повинно супроводжуватися аргументом, який показує, що межа optima є оптимальним обмеженням проблеми. Я вдячний посиланням на результат, який показує це або для цієї конкретної проблеми, або загальний результат, застосовний до цієї проблеми. $n$ $n \to \infty$

У відповідь на @AlecosPapadopoulos. Докази методу множника Лагранжа, який викладається з математики на курсах економіки, зазвичай є для обмеженої кількості змінних вибору. Я би вдячний посиланням на те, де метод виправданий для континууму змінних вибору. Крім того, неоднозначність, яку я згадував вище, показує, що метод не може бути абсолютно правильним. Тоді які саме кваліфікації необхідні для його дії?

microeconomics mathematical-economics

— Джотірмой Бхаттачарія
джерело

Я погоджуюсь з ОП, багато чого може потенційно піти не так, коли простір стане нескінченним. Мені зовсім не зрозуміло, що межа оптимуму - це оптимальна межа.

— FooBar

Відповіді:

Цілком суворим було б написати рівняння Ейлера з лагранжем цієї проблеми з обчисленням варіацій, це дасть вам міцне рішення, що є у вас, або слабке рішення, яке написано стосовно розподілу.

— користувач157623
джерело

Але як я можу включити своє обмеження в бюджет до формулювання варіацій?

— Jyotirmoy Bhattacharya

Перевірте це посилання, math.stackexchange.com/questions/279518/… , функція мультиплікатора лагранжу !, що вам потрібно, це дає вам міцне рішення, яке можна інтерпретувати по точці, хоча воно повинно бути майже впевненим у домінуючому вимірі

— користувач157623

Дякую. Після ви натякаєте використання варіаційного обчислення я знайшов теорему 1 в розділі 12 Kolomogorov і Фоміна варіаційного обчислення , як видається для обробки обмежень , виражених в вигляді інтегралів. Тож у певному сенсі можна використовувати множники Langrange.

— Jyotirmoy Bhattacharya

Це корисно - але як коментар, а не як відповідь.

— Алекос Пападопулос

Ви маєте рацію Jyotirmoy Bhattacharya, можливо, хтось може відредагувати це як повну відповідь із посиланнями, які були надані в коментарях.

— користувач157623

Як зазначає ОП у коментарі, теорема 1 у розділі 12 Коломогорова і Фамінана Колекція варіацій, здається, забезпечує певний комфорт, що ми дійсно можемо використовувати метод множника Лангранжа, коли кількість наших змінних нескінченна. Однак автори роблять це у виносці, написавши, що "читач легко розпізнає аналогію з множниками Лангранжа". Так ні, це не суворо показує, чого ми хочемо.

Я думаю, що нам потрібен такий документ, як Craven, BD (1970). Узагальнення множників Лагранжа. Вісник Австралійського математичного товариства, 3 (03), 353-362. який у своєму резюме пише:

Метод множників Лагранжа для вирішення обмеженої задачі на стаціонарне значення узагальнено, щоб дозволити функції приймати значення у довільних просторах Банаха (над реальним полем). Показано, що набір множників Лагранжа в задачі з кінцевими розмірами замінюється безперервним лінійним відображенням між відповідними просторами Банаха.

Це математика, але це говорить те, що ми хотіли почути (можна також знайти коротку експозицію у вікіпедії настільки, наскільки вона довіряє вмісту).

Тоді ми можемо сформувати лагранжани задачі

Λ = \int_{0}^{1} c_{i}^{θ} d i + λ (M - \int_{0}^{1} p_{i} c_{i} d i)

$\Lambda = \int_0^1 c_i^\theta\,\text{d}i +\lambda\left(M - \int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i\right)$

і обчислити умови першого порядку, неофіційно кажучи, "дивлячись на інтеграл і бачачи суму",

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial Λ}{\partial c_{i}} = 0 \Rightarrow θ c_{i}^{θ - 1} = λ p_{i}, i \in [0, 1] \end{matrix}

$\frac{\partial \Lambda}{\partial c_i} = 0 \Rightarrow \theta c_i^{\theta-1} = \lambda p_i, \;\; i \in [0,1] \tag{1}$

... континуум умов. Для подальшого використання визначаємо

σ \equiv 1 / (1 - θ), \Rightarrow 1 - θ = 1 / σ, θ = \frac{σ - 1}{σ}

$\sigma \equiv 1/(1-\theta), \Rightarrow 1-\theta = 1/\sigma, \;\; \theta = \frac {\sigma-1}{\sigma}$

Константа може бути показана як еластичність заміщення будь-яких двох товарів. $\sigma$

Написання для товару та рівняння через загальний множник лагранжу, до якого ми доходимо $(1)$ $j$

\begin{matrix} (2) & c_{i} = {(\frac{p_{i}}{p_{j}})}^{- σ} c_{j} \end{matrix}

$c_i = \left(\frac {p_i}{p_j}\right)^{-\sigma}c_j \tag{2}$

Помножте обидві сторони на і візьміть інтеграл над товарним простором відносно : $p_i$ $i$

\int_{0}^{1} p_{i} c_{i} d i = \int_{0}^{1} p_{i}^{1 - σ} p_{j}^{- σ} c_{j} d i

$\int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i = \int_0^1 p_i^{1-\sigma}p_j^{-\sigma}c_j\,\text{d}i$

\Rightarrow M = p_{j}^{σ} c_{j} \int_{0}^{1} p_{i}^{1 - σ} d i

$\Rightarrow M = p_j^{\sigma}c_j\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i$

\begin{matrix} (3) & \Rightarrow c_{j} = p_{j}^{- σ} \cdot M \cdot {(\int_{0}^{1} p_{i}^{1 - σ} d i)}^{- 1} \end{matrix}

$\Rightarrow c_j = p_j^{-\sigma} \cdot M \cdot \left(\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i\right)^{-1} \tag{3}$

що маршальський попит на товар . $j$

— Алекос Пападопулос
джерело

Результат Колмогорова-Фоміна, застосований механічно, дає нам рішення. Тому нам не потрібно звертатися до аналогії з множниками Лагранжа. Я пишу це окремою відповіддю.

— Jyotirmoy Bhattacharya

Це лише розробка відповіді, яку дав @ user157623. Я публікую це як вікі спільноти для зручності.

Теорема 1 розділу 12 Колькульного Колумогорова і Фоміна говорить про варіації

$J [y] = \int_{a}^{b} F (x, y, y^{'}) d x,$ $J[y] = \int_a^b F(x,y,y')\,dx,$ $y (a) = A, y (b) = b, K [y] = \int_{a}^{b} G (x, y, y^{'}) d x = l,$ $y(a)=A,\quad y(b)=b, \quad K[y] = \int_a^bG(x,y,y')\,dx=l,$ $K[y]$ $J[y]$ $y=y(x)$ $y=y(x)$ $K[y]$ $\lambda$ $y=y(x)$ $\int_{a}^{b} (F + λ G) d x,$ $\int_a^b (F+\lambda G)\,dx,$ $y=y(x)$ $F_{y} - \frac{d}{d x} F_{y^{'}} + λ (G_{y} - \frac{d}{d x} G_{y^{'}}) = 0.$ $F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}+\lambda\left(G_y-\frac{d}{dx}G_{y'}\right)=0.$

$x$ $i$ $c$ $y$ $F(i,c,c')=c^\theta$ $G(i,c,c')=pc$

θ c_{i}^{θ - 1} + λ p_{i} = 0

$\theta c_i^{\theta-1} + \lambda p_i=0$

$K[y]$ $y(a)$ $y(b)$ $c$ $c^*(i)$ $c(0)=c^*(0), c(1)=c^*(1)$

Єдина уловка полягає в характері самої теореми. Це дає необхідні умови для оптимальності. Зважаючи на те, що в нашому випадку необхідна умова дає унікальний результат, все, що нам потрібно зробити достатньою, - це стверджувати, що наша проблема має рішення.

Докази Колмогорова-Фоміна припускають, що функції, з якими ми маємо справу, мають постійні перші похідні. Тому нам ще потрібно довести, що проблема споживача є оптимальною в цьому класі функцій, але враховуючи, що проблема вирішена.

— Джотірмой Бхаттачарія
джерело