Змішана стратегія Неша рівноваги в 3х3 грі

Що таке MSNE для наступної гри?

Я думаю, ви можете усунути стратегії $ A $ для гравця 1 і $ C $ для гравця $ 2 $, оскільки ці слабко домінуватимуть всі інші стратегії. Потім гра стає 2x2 грою з $ B, C $ для $ 1 $ і $ A, B $ за $ 2 $.

Нехай $ q $ і $ 1-q $ - ймовірність $ 2 $, що грає $ A $ і $ B $, а $ p $, $ 1-p $ ймовірність $ 1 $ грає $ B $ і $ C $. Тоді в рівновазі $ q = 1/4 $ і $ p = 1/3 $. Тоді рівновага

$$ (0,1 / 3,2 / 3); (1 / 4,3 / 4,0)

Це правильно?

Загальна процедура вирішення для MSNE в 3-х-3 (або більшій) грі завжди трохи складна і передбачає деякі спроби та помилки

• Крок 1: гіпотеза (тобто припущення) підмножини стратегій, які будуть використовуватися в рівновазі
• Крок 2: Розрахуйте їх вірогідність, використовуючи стан байдужості
• Крок 3: Переконайтеся, що рівноважний виграш не може бути односторонньо поліпшений; тобто жоден гравець не має жорсткого стимулу відхилятися від іншої стратегії

Припустимо, ваші передбачені стратегії є $ {B, C} {A, B} $ (це не має значення, яка основа для вашої гіпотези; це правильно). Далі розраховуємо ймовірності, використовуючи умови байдужості гравців. Нехай $ p = sigma_1 (B) $ і $ q = sigma_2 (A) $, у нас є старт {align} -3p & amp; = - 1 & amp; 3q + 1-q & amp = 1-q & amp; end {align} [Це означає, що ваш розрахунок для $ q $ був неправильним.]

Нарешті (це найпростіший, забутий крок), перевірте, щоб ніхто не мав стимулу відхилятися від цієї рівноваги. У цьому випадку виграш гравця 1 є $ 1 $, що вже є найвищою стратегією гравця 2 вибору $ B $ з ймовірністю 1. Він буде байдужий між змішанням в інших пропорціях над $ B $ і $ C $, і його виграш строго нижче, якщо він грає $ A $ з позитивною ймовірністю.

Очікуваний виграш гравця 2 в цьому рівновазі становить $ -1 $, що також є найвищою мішаною стратегією гравця 1. Вона байдужа між змішанням над $ A $ і $ B $ з будь-якими іншими пропорціями і суворо гірше, якщо $ C $ відтворюється з позитивною ймовірністю.

Отже, один MSNE становить $ ((0,1 / 3,2 / 3), (0,1,0)) $. Це тільки межа, що відповідає вашій початковій гіпотезі, оскільки $ sigma_2 (A) = 0 $. Але це, однак, MSNE. Фактично існує нескінченно багато МСНЕ цієї форми: $ ((0, p, 1-p), (0,1,0)) $ де $ p ge1 / 3 $. Це повний опис всіх рівноваг (включаючи чистий) у цій грі.