Рівняння Ейлера через умови дотику

Я досить новаторка в економіці взагалі і зокрема в неокласичній моделі зростання, і мені було цікаво, чи існує спосіб отримати рівняння Ейлера для споживання без використання множника Лагранжа? Припустимо, що немає кутових рішень, скажімо, агент вирішує умови

max_{c_{t}, k_{t}} \sum_{t = 0}^{\infty} β^{t} U (c_{t})

$\max_{c_t, k_t} \sum_{t=0}^{\infty} \beta^t U(c_t)$

c_{t} + k_{t + 1} \leq f (k_{t}) c_{t} \geq 0 \forall t k_{t + 1} \geq 0 \forall t

$c_t + k_{t+1} \leq f(k_t) \\ c_t \geq 0 \quad \forall t \\ k_{t+1} \geq 0 \quad \forall t$

Лагранжан задається

L = β^{t} [U (c_{t}) + λ_{t} (f (k_{t}) - c_{t} - k_{t + 1})]

$L = \beta^t [U(c_t) + \lambda_t ( f(k_t)- c_t - k_{t+1})]$ який потім може бути розв'язаний для рівняння Ейлера

U^{'} (c_{t}) = β U^{'} (c_{t + 1}) f^{'} (k_{t + 1})

$U'(c_t) = \beta U'(c_{t+1})f'(k_{t+1})$ .

Чому це так, якщо я намагаюся використовувати стан дотику градієнта $U$ та обмеження ресурсу, я не отримую те саме EE? Беручи участь у відношенні споживання та інвестицій ( $\delta =0$ тому $k_{t+1}=i_t$ )

$\nabla U = \langle \beta^tU'(c_t), 0\rangle$ і

$\nabla RC = \langle -\beta^t, -\beta^t+\beta^{t+1}f'(k_{t+1})\rangle$ .

Використовуючи дотик, я повинен отримати $\frac{U'(c_t)}{-1} = \frac{0}{\beta f'(k_{t+1})-1} \Rightarrow U'(c_t) = \beta U'(c_{t})f'(k_{t+1})$ . Ясно, що мій підписник вимкнено. Може хтось скаже мені, чи мій підхід невірний? або якщо я помилився в алгебрі? Я вважаю, що умова оптимізації має відповідати суворості, тому для мене не очевидно, чому такий підхід дає результат, відмінний від Лагранжана.

macroeconomics mathematical-economics

— ptr
джерело

\frac{0}{β f^{'} (k_{t + 1}) - 1} = 0

$\frac{0}{\beta f'(k_{t+1})-1} = 0$ , ви не думаєте?

— Алекос Пападопулос

@AlecosPapadopoulos Я згоден, саме тому я подумав, що це дивно, і опублікував тут

— ptr

Відповідаючи на ваше перше запитання (чи можете ви отримати рівняння Ейлера без лагранжанина?), Відповідь - так. Принаймні, існують менш формальні способи її отримання. Загалом, якщо припустити, що споживач вирішив споживати суворо позитивні кількості двох ідеально ділимих товарів і , то це повинно бути таким: $x$ $y$

\frac{M U_{x}}{M U_{y}} = \frac{p_{x}}{p_{y}}

$\frac{MU_x}{MU_y} = \frac{p_x}{p_y}$

(Якби це не було правдою, то споживач міг би збільшити їх корисність, переклавши трохи більше витрат на одне благо та трохи менше на інше.)

Так зване "рівняння Ейлера" - це не що інше, як застосування цього результату, перегляд "товарів", а також і . Якщо ви затримуєте своє споживання на один період, ви кладете готівку в банк на один період, отримуючи реальні відсотки за ставкою . Отже, якщо ми нормалізуємо , то ефективно . Завтра споживання дешевше, ніж споживання сьогодні (якщо ), оскільки затримка споживання дозволяє заробити певний відсоток. $C_t$ $C_{t+1}$ $r_{t+1}$ $P_t = 1$ $P_{t+1}=1/(1+r_{t+1})$ $r_{t+1} > 0$

Ми припускаємо, що корисність є постійною, розділеною за часом та експоненціально зниженою (як у вашій налаштуванні). Таким чином, нам потрібно пам'ятати, щоб поставити перед . Тепер запишемо для , для та для співвідношення ціни. $\beta$ $MU_{t+1}$ $u'(c_t)$ $MU_x$ $\beta u'(c_{t+1})$ $MU_y$ $(1+r_{t+1})$

Нарешті, зауважте, що якщо фірми максимізують прибуток, приймаючи собівартість капіталу , яку дають із сумарною амортизацією (як ви припускаєте), вони наймають капітал до . Підключення виходить до рівняння Ейлера. $r_{t+1}$ $f'(k_{t+1})=1+r_{t+1}$

Відповідаючи на ваше друге запитання (як ви можете це зробити з лагранжанином?), Я рекомендую спробувати наступні кроки:

Перш за все, ви дійсно повинні мати підсумок перед своїм лагранжанином (підсумовуючи нескінченну кількість періодів). Це динамічна проблема.
Диференціюйте цільову функцію щодо . $c_t$
Просуньтесь на один період і комбінуйте рівняння. Ви повинні отримати:

$u'(c_t)/\beta u'(c_{t+1}) = \lambda _t/\lambda _{t+1}$

Потім диференціюйте цільову функцію відносно . Не забувайте термін ! Це може здатися неактуальним, але лагранжанин повинен бути нескінченною сумою, щоб він відображався, коли ви «котиться вперед» на один період. Це має дати вам: $k_{t+1}$ $f(k_t)$

$\lambda _t = \lambda _{t+1}f'(k_{t+1})$

Підключіть це і у вас є! Рівняння, на якому будується стільки безглуздого макроекономіки.

— заново
джерело

Дякую, ви відповіли на моє перше запитання. Але моє друге питання полягало в тому, чи можна використовувати градієнт функції корисності та градієнт обмеження ресурсів для використання умов дотику. Я просто не можу знайти, де моя алгебра неправильна.

— птр

@afreelunch, навіть якщо я можу (або не можу) погодитися з вами, я думаю, що ваше останнє зауваження щодо макроекономіки не вимагається.

— Маартен Пунт

@ptr. Мені не зовсім зрозуміло, як ви намагалися вирішити проблему. Однак підхід невірний: рівняння насправді означає, що , що невірно. (Хоча в дуже тривіальному розумінні насправді буде випливати рівняння Ейлера!) Натомість я б запропонував вам підійти до проблеми, використовуючи будь-який із двох методів, які я окреслив.

U^{'} (C_{t}) = 0

$U'(C_t)=0$

— повторного запуску

Я ніколи не мав на увазі . Я просто стверджував, що при рівновазі обмеження ресурсів повинно пов'язуватися, тобто ми повинні мати можливість використовувати градієнт, щоб отримати умови рівноваги (однією з яких є рівняння Ейлера). Градієнт задається частинками відносно права керування (тобто )? . Друга повинна бути нульовою, оскільки і є незалежними. Моя проблема полягала в тому, що я постійно отримував неправильні підписки за допомогою градієнтів.

U^{'} (c_{t}) = 0

$U'(c_t) = 0$

c_{t}, k_{t + 1}

$c_t, k_{t+1}$

\nabla U^{'} (c_{t}) = ⟨ β^{t} u^{'} (c_{t}), 0 ⟩

$\nabla U'(c_t) = \langle \beta^t u'(c_t), 0 \rangle$

c

$c$

k

$k$

— птр

Моя думка полягала в тому, що , як зараз вказав інший коментатор, саме тому ваше рівняння означає, що (що є не вірно в оптимальних).

\frac{0}{β f^{'} (k + 1) - 1} = 0

$\frac{0}{\beta f'(k+1)-1} = 0$

U^{'} (c_{t}) = 0

$U'(c_t) = 0$

— повторного запуску