Які з аксіом Анскомба-Амана мають на увазі принцип Суре-Рінг?

Розглянемо налаштування Анскомба-Амана і припустимо, що відношення переваги задовольняє всім оригінальним аксіомам Анскомба-Амана (раціональність, наступність, незалежність та монотонність).

Якщо ми обмежимо увагу на чистих скачках (тобто діє без будь-якої об'єктивної невизначеності), модель Anscombe-Aumann зводиться до суб'єктивного представлення очікуваної утиліти a la Savage. Таким чином, за чистими кінськими перегонами особа, яка приймає рішення, задовольняє всі аксіоми Сайджена, зокрема Принцип впевненості (P2 в термінології Савиджа).

Я не бачу прямого зв’язку між аксіомами Анскомба-Амана та принципом впевненості. Хтось бачить, як аксіоми Анскомба-Амана мають на увазі Принцип впевненості? Зокрема, це є результатом лише незалежності, чи потрібна незалежність І монотонність?

Перше зауваження: аксіоми Anscombe-Aumann, зокрема незалежність, визначаються через дії, що переносять простір стану на лінійний простір (як правило, прості лотереї над об'єктами споживання). Навіть коли ми розглядаємо обмеження моделі суто суб'єктивно невизначеними діями, нам все-таки потрібно використовувати повну модель, або ми втратимо інформацію.

Це було сказано: Давайте нехай $S$ бути кінцевим простором стану та $X$кінцевий набір альтернатив. Дозволяє$\Delta(X)$ позначають усі лотереї $X$ і $f: S \to \Delta(X)$є діянням. Для події$E \subseteq S$, дозволяє $f_{-E}g$ бути актом, визначеним

$$f_{-E}g \begin{cases} f(s) \text{ if } x \in E \\ g(s) \text{ if } x \notin E. \end{cases}$$

Тепер ми можемо сказати, що наша модель відповідає принципу впевненості, якщо$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$і тодіЦе визначення справедливе для всіх дій, не лише тих, що не мають об’єктивного ризику, але чітко ви можете враховувати лише відповідні прогнози.$f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$$f \succsim g.$

Припустимо, що є попередником STP. З і незалежності ми маємо, що Зверніть увагу, що ми можемо переписати це як і, застосувавши знову незалежність, отримаємо $f_{-E}h \succsim g_{-E}h$

$$\frac12 f_{-E}h + \frac12 f_{-E^c}h \succsim \frac12 g_{-E}h + \frac12 f_{-E^c}h.$$ $$\frac12 f + \frac12 h \succsim \frac12 g_{-E}f + \frac12h$$ $$\begin{equation} \tag{1} f \succsim g_{-E}f. \end{equation}$$

Аналогічно від та незалежності ми маємо, що Знову ми можемо переписати як і, застосувавши знову незалежність, отримаємо $f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$

$$\frac12 f_{-E^c}h + \frac12 g_{-E}h \succsim \frac12 g_{-E^c}h + \frac12 g_{-E}h.$$ $$\frac12 g_{-E}f + \frac12 h \succsim \frac12 g + \frac12h$$ $$\begin{equation} \tag{2} g_{-E}f \succsim g. \end{equation}$$

Поєднання (1) і (2) через транзитивність дає бажані співвідношення. Повертаючись до попереднього зауваження, зауважте, що для застосування незалежності нам потрібно змішувати дії, що апелюють до об'єктивного ризику. Таким чином, навіть коли , і не мають об’єктивного ризику, нам все одно потрібні ризиковані дії, щоб служити посередником у доказуванні. У певному сенсі це велике розуміння всієї структури АА - використання об'єктивного ризику, щоб обійти необхідність нескінченного простору держави, використовуючи лінійність очікувань, щоб змусити СТП.$f$$g$$h$

Помітьте лише незалежність та транзитивність. Це повинно свідчити про те, що навіть залежний від держави ЄС (де монотонність / незалежність держави не вдається) або Bewley EU (де повнота послаблена) все ще задовольнять НТП.

---

Редагувати у відповідь на коментар: Дозвольте зателефонувати вищенаведеному поняттю принципу впевненої речі STP1 і сказати, що перевага задовольняє STP2, якщо для всіх . Тоді, якщо є попереднім замовленням, він задовольняє STP1, якщо і лише якщо він задовольняє STP2.$f_{-E}h \succsim g_{-E}h \iff f_{-E}h' \succsim g_{-E}h'$$f,g,h,h'$$\succsim$

Спочатку припустимо, що STP2 має місце і що і . Тоді по STP2 маємо Транзитивність означає ; STP1 утримується.$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$$f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$

$$f = f_{-E}f \succsim g_{-E}f \qquad \text{ and } \qquad g_{-E}f = f_{-E^c}g \succsim g.$$ $f \succsim g$

Далі, припустимо, STP1 має місце і . Визначте та аналогічно. За визначенням тому наше припущення ідентично, що Далі тому у нас за рефлексивністю переваги, що Тепер ми можемо застосувати STP1 до (3) і (4), щоб отримати$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$$\hat f = f_{-E}h'$$\hat g$

$$\hat f_{-E}h = f_{-E}h \qquad \text{ and } \qquad \hat g_{-E}h = g_{-E}h,$$ $$\begin{equation} \tag{3} \hat f_{-E}h \succsim \hat g_{-E}h. \end{equation}$$ $\hat f_{-E^c}h = \hat g_{-E^c}h = h'_{-E}h$ $$\begin{equation} \tag{4} \hat f_{-E^c}h \succsim \hat g_{-E^c}h. \end{equation}$$ $\hat f \succsim \hat g$, що, враховуючи їх визначення, саме те, що нам потрібно показати для STP2, щоб виконати.