Проблема оптимізації Куна Таккера

Припустимо, що гравця, якого я вибираю при постійному рівні витрат c > $x_i \ge 0$$c>0$

Функція окупності гравця i є

$$v(x_i,t)-cx_i$$

де - технологічний параметр.$t$

Функція v (.) Є вдвічі безперервно диференційованою зростаючою і строго увігнутою в .$x_i$

$v(0,t)=0$

$\partial v(0,t)/\partial _i>c$

$\partial v(x_i,t)/\partial _i<c$

Я хочу досягти максимальної віддачі стосовно . Але питання чітко наголошує на використанні методу Куна Таккера, а також на твердженні та обговоренні умов слабкості.$x_i$

І мені потрібно знайти рішення цієї проблеми, скажімо, $x^*$

---

Моє рішення:

$$L= v(x_i,t)-cx_i +\mu [x_i-0]$$

Умова першого замовлення

$$(\partial v(x_i,t)/\partial _i)-c+\mu=0$$

Стан Куна Таккера

$$\mu [x_i-0]=0$$ $\mu \ge 0$

$\mu \ge 0$

$x_i=0$

$\mu = 0$

$x_i=0$

$$(\partial v(x_i,t)/\partial _i)-c=0$$

$$(\partial v(x_i,t)/\partial _i)-c<0$$

$L$

Будь ласка, поділіться зі мною своїми ідеями. Дуже дякую.

$$\mathcal{L}(x_i, t) = v(x_i, t) - cx_i + \mu x_i$$

Необхідні умови для оптимальності:

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_i} =\frac{\partial v}{\partial x_i} - c + \mu = 0$$ $$x_i\geq 0, \ \mu \geq 0, \ \mu x_i = 0$$

Для її вирішення розглянемо такі випадки:

• $x_i > 0$

  $x_i > 0 \rightarrow \mu = 0 \rightarrow \dfrac{\partial v}{\partial x_i} - c = 0$

  $x_i^* > 0$$\dfrac{\partial v}{\partial x_i}\Big\vert_{x_i=x_i^*} - c = 0$$x_i = x_i^*$

• $x_i = 0$

  $x_i = 0 \rightarrow \mu = c - \dfrac{\partial v}{\partial x_i}$

  $c - \dfrac{\partial v}{\partial x_i}\Big\vert_{x_i=0} \geq 0$$x_i = 0$