Осборн, рівновага Неша і правильність переконань

У вступі Осборна до введення в теорію ігор рівновагу Неша описано так (с. 21–22):

По-перше, кожен гравець вибирає свою дію за моделлю раціонального вибору, враховуючи її переконання щодо дій інших гравців. По-друге, переконання кожного гравця щодо дій інших гравців є правильним.

Мені здається, що це визначення не зовсім еквівалентне звичайному визначенню рівноваги Неша як профілю стратегії, де стратегія кожного гравця є найкращим відгуком на стратегії інших.

Звичайне визначення нічого не говорить про переконання і тому допускає можливість того, що переконання можуть бути неправильними.

Щоб скористатися тривіальною можливістю, розгляньте дилему в'язня. Припустимо, кожен гравець вважає, що інший гравець не зізнається. Оскільки сповідь є домінуючою стратегією, кожен гравець все одно зізнається. Таким чином, дії складають рівновагу Неша, навіть якщо вірування гравців абсолютно протилежні дійсним рівноважним діям.

Я правий у цьому розумінні, що визначення Осборна характеризує щось інше, ніж рівновага Неша?

Представлення мови переконань тут трохи дивно, враховуючи, що вірування мають дуже специфічне значення в інших частинах теорії ігор.

Дійсно, опис Осборна нагадує рівновагу Байєса Неша. Ми могли б ввести поняття переконань у звичайну форму повної інформаційної гри наступним чином: припустимо, що з ймовірністю кожен гравець, я , є "стратегічним" типом, який буде грати відповідно до (Неша) рівноваги та з вірогідністю 1 - a i він обере якусь стратегію рівномірно (тому що, скажімо, він байдужий до всіх дій). Таким чином, у нас є байєсівська гра, де думати про переконання природніше.$a_i$$i$$1-a_i$

Концепція рішення Байєша Неша тоді говорить, що стратегія повинна бути оптимальною, враховуючи очікувану гру, спричинену стратегіями інших гравців, і переконання щодо їх типів, що маються на увазі { a j } j ≠ i . Якщо ми подивимося на межі в I → 1 для всіх я тоді Байеса рівновагу Неша цієї гри буде збігатися з концепцією рішення описаної Осборном.$i$$\{a_j\}_{j\neq i}$$a_i\rightarrow 1$$i$

$i$

• Якщо гра така, яку часто грають (відміняючи питання про інші результати, які можна підтримувати в повторних іграх), ми можемо вважати Неша рівновагою в тому сенсі, що якщо ми сходимося там, ми можемо виробити норму, згідно з якою люди продовжують грати в цю рівновагу нескінченно (і розраховувати, що інші будуть робити те саме).
• Якщо гра справді одномовна, ми зазвичай посилаємось на думку про те, що гравці намагаються передбачити, що робитимуть інші - і наше уявлення про рівновагу вкладає думку про те, що ці прогнози повинні бути правильними.

Здається, що передбачення у другому пункті відповідають "переконанням", на які посилається Осборн. Однак важливо підкреслити, що ці передбачення / "переконання" є лише неофіційним / інтуїтивним інструментом, який допомагає нам уявити, що відбувається в рівновазі, і не є частиною визначення такої рівноваги. Сама концепція рівноваги Неша є абсолютно агностичною щодо поняття переконань (як ви зазначаєте в коментарі, воно визначається лише над діями), саме тому, коли Осборн продовжує формально визначати рівновагу Неша, він робить це, не посилаючись на ідея переконань взагалі.

Введення віри робить концепцію NE порівнянною з іншими поняттями уточнення, такими як PBE та послідовна рівновага, але значення NE не змінюється.

Випускник мікро-підручника від Mas-Colell, Whinston and Green (MWG) має результат для цього

$\sigma$$\Gamma_E$$\mu$

1. $\sigma$$\mu$ $H$$\Pr(H|\sigma)>0$
2. $\mu$$\sigma$

Таким чином, приклад дилеми в'язня, який ви наводите, де гравці мають переконання, протилежні тому, що реальна стратегія опонента не відповідає другій умові, яка вимагає, щоб переконання виходили з правила Байєса, коли це можливо. Насправді це математичний еквівалент другої вимоги визначення Осборна: про те, що переконання гравця щодо дій інших гравців є правильним.

Приклад дилеми вашого ув'язненого працює лише тому, що це гра з домінуючими стратегіями. Осборн правильний.

Щоб найкраще реагувати на стратегію іншого гравця, як у визначенні, яке ви даєте, я повинен знати їхню стратегію. Іншими словами, я повинен мати переконання щодо того, що вони роблять, і ці переконання повинні бути правильними. Це посилення концепції раціоналізації.

$(\sigma,\mu_1)$$(\sigma,\mu_2)$$\mu_2$$\sigma\in \Sigma$$\sigma_i\in B_i(\sigma_{-i})$... "Я вважаю, що це означає, що визначення переконань є непотрібним, оскільки переконання - це точно правильна оцінка профілю стратегії. Посилання, одна з моїх книг, дає звичайне визначення із цитуванням Неша (1950), і далі йдеться про два основні припущення: одне - це правильні переконання, а інше - раціональна гра, враховуючи ці правильні переконання.

Я, можливо, повторюю речі, про які говорилося раніше, але ось мій погляд на це.

Я думаю, що ми зіштовхуємось із звичайною проблемою при порівнянні двох різних моделей. Що означає "еквівалентність", не є абсолютно очевидним, оскільки два визначення лежать у різних світах або різних моделях. Однак, якщо "еквівалентність" правильно визначити, я думаю, що можна осмислити визначення Осборна і показати, що воно справді "еквівалентне" НЕ.

Концепція рішення, що лежить в основі цитованого розділу, буде приблизно такою:

$s^*$$b^*$$i$

$$u_i ( s^*_i ~|~ s_{-i} = b^*_{i}) \geq u_i ( s' ~|~ s_{-i} = b^*_{i}) \text{ for all } s' \in S_i$$ $$b^*_i = s^*_{-i}$$

$\Leftrightarrow$

$\Rightarrow$

$p$

$\Rightarrow$

Це складна частина. Що означає, що "Кожен НЕ - це БЕ"? Звичайно, не те, що "НЕ плюс будь-який профіль переконань - це БЕ", як показав ОП із своїм протиприкладним прикладом. Тим не менш, це випадок, що "будь-який НЕ може бути зроблений BE для певного профілю віри ". Я думаю, що саме в цьому сенсі слід розуміти твердження Осборна про «еквівалентність»

Зауважте, що у нас також є наступне твердження, подібне до "еквівалентності": " Результат гри - це результат НЕ тоді і лише тоді, коли це результат BE".