Проблема оптимізації в умовах Куна-Таккера

Розглянемо гру з двома гравцями, де кожен гравець має переваги , де - споживання, а - соціальна взаємодія. задається , де - час, проведений гравцем один, а - час гравця, який проводить з гравцем . Гравець повинен вирішити, скільки свого часу розподілити між роботою, маючи час наодинці, та соціальною взаємодією$i=1,2$$u_i=s_i^a c_i^{1−a}$$c_i$$s_i$$s_i$$s_i=t_i+t_{ij}\times t_{ji}$$t_i$$i$$t_{ij}$$i$$j$$i$$T$$t_i$$t_{ij}$. Припустимо, що за кожну годину гравець працює, що він або вона отримує заробітну плату та припустимо, що ціна споживання нормалізується до .$i$$w$$c_i$$p=1$

Уважно визначте проблему оптимізації для гравця 1. Запишіть умови Куна-Таккера та обговоріть ці умови. Поясніть, чому гравець 1 стикається зі стратегічною ситуацією. Знайдіть функції найкращого реагування для гравців 1 і 2. Графікуйте ці функції.

Моє рішення:

$L = s_i^a c_i^{1-a} - \lambda(c_i + s_i - (T-s_i)w) + \mu (c_i + s_i - T)$

FOC:

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = c_i + s_i - (T - s_i)w = 0$

$\frac{\partial L}{\partial s_i} = a s_i^{a-1} c_i^{1-a} - \lambda(1+w) +\mu = 0$

$\frac{\partial L}{\partial c_i} = (1-a) s_i^a c_i^{-a} - \lambda +\mu = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \mu} = c_i + s_i - T = 0$

Дотримуючись цієї процедури, я не можу прийти до рішення. Будь ласка, поділіться зі мною своїми ідеями.

Вирішуючи, що я отримую:

Проблема максимальної утиліти гравця полягає в наступному:$1$

$$\max_{0 \leq t_{12} \leq T} \ \ \left(T-t_{12} + t_{12}t_{21}\right)^a \left(w(T-t_{12})\right)^{1-a}$$

Еквівалентним способом вирішення зазначеної проблеми є максимізація цілі, тобто її можна вирішити$\log$

$$\max_{0 \leq t_{12} \leq T} \ \ a\ln\left(T-t_{12} + t_{12}t_{21}\right) +(1-a)\ln \left(w\right) + (1-a)\ln \left(T-t_{12}\right)$$

Вирішуючи це, ми отримуємо найкращу функцію відповіді гравця 1 як

$$\begin{eqnarray*} t_{12} = \begin{cases} 0 & \text{if } t_{21} \leq\frac{1}{a} \\ \frac{T(at_{21}-1)}{(t_{21}-1)} & \text{if } t_{21} > \frac{1}{a} \end{cases} \end{eqnarray*}$$

Так само найкраща функція відповіді гравця 2

$$\begin{eqnarray*} t_{21} = \begin{cases} 0 & \text{if } t_{12} \leq \frac{1}{a} \\ \frac{T(at_{12}-1)}{(t_{12}-1)} & \text{if } t_{12} \geq \frac{1}{a} \end{cases} \end{eqnarray*}$$

Тепер ви можете вирішити найкращі відповіді, щоб отримати Невільну рівновагу.