Другий ціновий аукціон - коригування PDF за ціною бронювання

Ситуація:

Існує другий аукціон цін з 2 гравцями. Розглянемо аукціон з другою ціною з 2 гравцями. Їх оцінки об'єкта на аукціоні є і незалежно і тотожно розподілені за допомогою pdf $ f $ і cdf $ F $. над $ [0, h v] $. Припустимо, що $ f $ є безперервним і позитивним над $ [0, h v] $.

Тепер тут виникає питання: ставка за бронювання $ r $ тепер реалізована - переможець виплачує другий з найвищих ставок, включаючи ціну бронювання, або якщо обидві ставки знижують ніхто не виграє. Я хочу знайти pdf, що обидві ставки вище $ r $ і вище $ x $, і додати це до рівняння, що обчислює очікуваний прибуток для аукціоніста.

Я вже знайшов pdf для обох ставок вище деякого значення $ x $: $ 2f (x) (1-F (x)) $. PDF для обох видів вище $ r $ є $ (1-F (r)) ^ 2 $.

Я подивився на відповідь на цю проблему, і він припускає, що комбінований pdf є $ frac {2f (x) (1-F (x)) {{1 (F-r)) $. Чи може хтось пояснити мені, як це так?

Тоді, при обчисленні очікуваного доходу для аукціоніста, ми маємо для випадку, коли обидві ставки знаходяться вище $ r $: $ (1-F (r)) ^ 2 int_r ^ h v {frac {2f (x) ( 1-F (x))} {(1-F (r)) ^ 2}} dx $. Я також дуже збентежений, чому ми множимо на $ (1-F (r)) ^ 2 $.

Щоб знайти очікуваний дохід продавця у другому ціновому аукціоні із зарезервованою ціною, що складається з двох учасників, які подали свої оцінки в рівновазі, ми виконуємо наступне

Враховуючи, що оцінки i.i.d з pdf $ f $ і CDF $ F $ над $ [0, {v}] $, дохід, який продавець отримує для різних реалізацій оцінок гравців, вказаний на графіку нижче:

Тому очікуваний дохід продавця: {{e}} {{}} int_r ^ {v_2} v_1 f (v_1) f (v_2) dv_1dv_2 + int_r ^ h {v} int_ {v_2} ^ hat {v} v_2 f (v_1) f (v_2) dv_1dv_2 {v} rf (v_1) f (v_2) dv_1dv_2 + int_r ^ \ t } int_0 ^ rrf (v_1) f (v_2) dv_1dv_2 & amp; {v} v_1 (1-F (v_1)) f (v_1) dv_1 + int_r ^ {v} v_2 (1-F (v_2)) f (v_2) dv_2 + 2rF (r) (1-F (r)): & amp; 2 int_r ^ h {v} v_2 (1-F (v_2)) f (v_2) dv_2 + 2rF (r) (1-F (r)) end {eqnarray *}

Я думаю, що перша частина вашого питання повинна просити умовну ймовірність. Іншими словами, для $ v_1 $ і $ v_2 $, що представляють оцінки гравця 1 і гравця 2, ми повинні були попросити виведення (а саме, щільність) наступної ймовірності:

$$ Pr (v_1 & gt; x v_2 & gt; x; r & lt; v_1 r & lt; v_2) $$ При цьому він дорівнює: $$ frac {d ліворуч (frac {(1-F (x)) ^ 2} {(1-F (r)) ^ 2} право)} {dx} = frac {2f (x) (1-F (x))} {(1-F (r)) ^ 2} $$

З ваших слів, однак, виводиться, що те, що він просить, є виведенням (таким чином, щільністю) наступної ймовірності:

$$ Pr (v_1 & gt; max (r, x)): v_2 & gt; max (x, r)) $$ Але, припускаючи, що wlog x & r; r, це просто дорівнює $ frac {d ліворуч ((1-F (x)) ^ 2) ), так що $ r $ не існує, оскільки $ v_1 $ і $ v_2 $ є більшими, ніж $ x $, і $ x $ більше $ r $, то $ v_i $ & gt; v_i $ & gt; $ r $ для $ i = 1,2 $. Отже, в цьому випадку не потрібно турбуватися про $ r $. Але я не думаю, що ваше запитання про це.

Для останньої частини вашого запитання я знову підозрюю, чи немає вимоги, щоб $ v_1 $ і $ v_2 $ були вищими, ніж $ x $. Якщо єдине обмеження для них повинно бути вище, ніж ціна резерву $ r $, то вищенаведене Amit дало дуже добре відповідь, за винятком того, що $ v_1 $ або $ v_2 $ не можуть отримати будь-яке значення менше $ r $ в рівновазі, так у його розрахунках інтеграли $ int_0 ^ r_r ^ h {v} rf (v_1) f (v_2) dv_1dv_2 $ і $ int_r ^ h {v} int_0 ^ rrf (v_1) f (v_2) dv_1dv_2 $ марні. Коли ми видалимо ці два інтеграли, отримаємо відповідь $ 2 int_r ^ h {v} v_2 (1-F (v_2)) f (v_2) dv_2 $ (ви можете замінити змінну $ v_2 $ на $ x $ тут, щоб отримати ідентичний результат з вашою відповіддю).