Проста регресія з манекенною змінною

Розглянемо просту лінійну модель:

$Y = \beta_1 + \beta_2 MALE + u$

де - фіктивна змінна. якщо жінка, якщо чоловік. $MALE$ $MALE = 0$ $MALE = 1$

Встановлена модель:

$\hat{Y} = \hat{\beta_1} + \hat{\beta_2} MALE$

і - вибіркові засобидля жінок і чоловіків відповідно. $\bar{Y_F}$ $\bar{Y_M}$ $Y$

Доведіть, що:

, $\hat{\beta_1} = \bar{Y_F}$ $\hat{\beta_2} = \bar{Y_M} - \bar{Y_F}$

Якщо точки побудовані в блоці розсіяння, у і буде два вертикальних скупчення точок , як показано: $MALE = 0$ $MALE = 1$

$RSS$ $RSS$ $\bar{Y_F}$ $\bar{Y_M}$ $\hat{\beta_1}$ $\hat{\beta_2}$

Я хочу це довести алгебраїчно.

econometrics mathematical-economics

— StevenRJClarke1985
джерело

Це не місце для виконання домашніх завдань. Якщо ви надасте своє рішення (або хоча б спробуєте) та поясните свої сумніви, ви можете отримати допомогу

— PhDing

@Alessandro Дякую за Ваш коментар Я пішов і спробував це питання ще раз. Моя відповідь як нижче.

— StevenRJClarke1985

$\hat{\beta_2}$

\hat{β_{2}} = \frac{Σ (Y_{i} - \bar{Y}) (M A L E - \bar{M A L E})}{Σ (M A L E - \bar{M A L E})^{2}}

$\hat{\beta_2}=\frac{\Sigma(Y_i-\bar{Y})(MALE - \overline{MALE})}{\Sigma(MALE - \overline{MALE})^2}$

\bar{M A L E} = \frac{m}{n}

$\overline{MALE}=\frac{m}{n}$

Можна сказати:

M A L E - \bar{M A L E} = {\begin{cases} - \frac{m}{n} & if M A L E = 0 \\ \frac{n - m}{n} & if M A L E = 1 \end{cases}

$MALE - \overline{MALE}=\begin{cases}-\frac{m}{n} & \text{if }MALE=0\\\\\frac{n-m}{n} & \text{if }MALE=1\end{cases}$

$\hat{\beta_2}$

Σ (Y_{i} - \bar{Y}) (M A L E - \bar{M A L E}) = \frac{m (n - m)}{n} (\bar{Y_{M}} - \bar{Y_{F}})

$\Sigma(Y_i-\bar{Y})(MALE - \overline{MALE})=\frac{m(n - m)}{n}(\bar{Y_M} - \bar{Y_F})$

$\hat{\beta_2}$

Σ (M A L E - \bar{M A L E})^{2} = \frac{m (n - m)^{2} + m^{2} (n - m)}{n^{2}} = \frac{m (n - m)}{n}

$\Sigma(MALE - \overline{MALE})^2=\frac{m(n - m)^2 + m^2(n - m)}{n^2}=\frac{m(n - m)}{n}$

Розділення двох дає правильну відповідь:

\hat{β_{2}} = \bar{Y_{M}} - \bar{Y_{F}}

$\hat{\beta_2}=\bar{Y_M} - \bar{Y_F}$

$\hat{\beta_1}$

\hat{β_{1}} = \bar{Y} - \hat{β_{2}} \bar{M A L E} = \frac{m \bar{Y_{M}} + (n - m) \bar{Y_{F}}}{n} - (\bar{Y_{M}} - \bar{Y_{F}}) \frac{m}{n} = \bar{Y_{F}}

$\hat{\beta_1}=\bar{Y}-\hat{\beta_2}\overline{MALE}=\frac{m\bar{Y_M}+(n - m)\bar{Y_F}}{n} - (\bar{Y_M} - \bar{Y_F})\frac{m}{n}=\bar{Y_F}$

— StevenRJClarke1985
джерело