Це питання надсилається з MathSE: посилання
У мене є наступне диференціальне рівняння з журнальної статті:
$ точка {g} (t) - дельта (t) g (t) = -H (t) --- (1) $,
яка інтегрується між t і T. t є часом, а T - кінцевою (скейлер) часовою точкою. Функції неявно визначаються в часі (t).
Рішення, яке я маю (з тієї самої статті, не показані кроки):
$ g (t) = g (T) e ^ {- int_t ^ T дельта (u) du} + int_t ^ TH (u) e ^ {- int_t ^ u \ t - (2) $
Я розумію, що рішення виходить за допомогою інтегруючого фактора:
$ IF = e ^ {int_t ^ T дельта (u) du} $.
Це означає, що на передостанньому етапі рішення я буду мати щось подібне
$ g (t) = g (T) e ^ {- int_t ^ T дельта (u) du} + e ^ {- int_t ^ T дельта (u) du} {int_u ^ T дельта (s) ds} du --- (3) $
Якщо (3) дає (2), то повинно бути істиною
$ e ^ {- int_t ^ T дельта (u) du} int_t ^ TH (u) e ^ {int_u ^ T дельта (s) ds} du = int_t ^ TH (u) e ^ {- int_t ^ ut (s) ds} du --- (4) $
з розумінням того, що u розглядається як майбутній момент часу відносно t.
Те, що я не розумію, - це точна причина, чому (4) є правильною. З мого розуміння можливим поясненням може бути те, що перший член на лівій стороні 4 неявно є функцією від t, тому він може бути включений під інтеграл другого члена на лівій стороні, де функції інтегруються. між двома значеннями t, а саме t і T. Але я не впевнений, що це точний спосіб опису цього.
Чи існує теорема / результат, що підтримує / анулює мій спосіб мислення і чи існує спосіб пояснити (4)?
Йдеться про цей документ Модель попиту на довголіття і вартість продовження життя . Рівняння і рішення нумеруються відповідно (17) і (18). Я представляю їх тут без деяких додаткових термінів.
Пояснення щодо нумерації в питанні :
Нумерації (1) - (4) у запиті є моїми. (1) у питанні є спрощеним варіантом (17) в роботі і (2) у питанні є спрощена версія (18) в роботі.