Я вважаю, що ваші запитання:
Q1. Чому не симетричний?≻
Q2. Чому (a) симетричний; (б) рефлекторні; та (c) транзитивні?∼
Відповіді:
А1. Припустимо, . Тоді за визначенням 4 (див. Основні настройки та визначення нижче), і . Тому, за тим самим визначенням, . Таким чином, не є симетричним.x≻yx ≿ y y ≿ ̸ x y ⊁ x ≻x≿yy≿̸xy⊁x≻
А2. Нехай .x,y,z∈X
A2 (a) і (визначення 3) . x∼y ⟺ x≿yy≿x ⟺ y∼x
A2 (b) За визначенням 2 , . І так, за визначенням 3 , .x≿xx ∼ xx∼x
A2 (c) Припустимо, і . (Ми покажемо, що .)x∼yy∼zx∼z
За визначенням 2 маємо і . І тепер по транзитивності , ми маємо .x≿yy≿z≿x≿1z
Аналогічно маємо також і . І так знову транзитивністю , ми маємо .y≿xz≿y≿z≿2x
З огляду на та , за визначенням 3 маємо .≿1≿2 x∼zx∼z
Основні настройки та визначення.
Визначення 1. А (бінарне) відношення (на множині ) таке:RX
Симетричний, якщо для всіх , ;x,y∈XxRy⟺yRx
Рефлексивне, якщо для всіх , ;x∈XxRx
Перехідні , якщо для всіх , і увазі .x,y,z∈XxRyyRzxRz
Нехай - наш набір альтернатив.X
Визначення 2. Нехай рефлексивне і транзитивне відношення на .≿X
Ми інтерпретуємо як відношення, яке є найбільш переважним.≿
Визначення 3. якщо і .x∼yx≿yy≿x
Ми інтерпретуємо як відношення байдужості.∼
Визначення 4. якщо і .x≻yx≿yy≿̸x
Ми інтерпретуємо як суворо переважне відношення.≻