Сумніви щодо відношення еквівалентності

0

У класі я робив нотатки про відносини еквівалентності, визначені як:

Дано загальне відношення $R$ на $X$ , $xIy$ якщо обидва $xRy$ і $yRx$

Тепер я не дуже розумію таку пропозицію:

Якщо $R$ (вихідне відношення) є рефлексивним і перехідним, то $I$ (похідне відношення) є рефлексивним, симетричним та перехідним.

$\succsim$ $\sim$ $\succ$

Крім того, як я можу довести, що має дві властивості, призводить до того, що у однакові дві властивості + симетрія? $R$ $I$

preferences self-study

— Чжан_анлан
джерело

3

Я вважаю, що ваші запитання:

Q1. Чому не симетричний? $\succ$

Q2. Чому (a) симетричний; (б) рефлекторні; та (c) транзитивні? $\sim$

Відповіді:

А1. Припустимо, . Тоді за визначенням 4 (див. Основні настройки та визначення нижче), і . Тому, за тим самим визначенням, . Таким чином, не є симетричним. $x \succ y$ $x \succsim y$ $y \not\succsim x$ $y \not\succ x$ $\succ$

А2. Нехай . $x,y,z\in X$

A2 (a) і (визначення 3) . $\hspace{10pt}$ $x\sim y$ $\hspace{10pt}$ $\iff$ $\hspace{10pt}$ $x\succsim y$ $y\succsim x$ $\hspace{10pt}$ $\iff$ $\hspace{10pt}$ $y\sim x$

A2 (b) За визначенням 2 , . І так, за визначенням 3 , . $x \succsim x$ $x \sim x$

A2 (c) Припустимо, і . (Ми покажемо, що .) $x\sim y$ $y\sim z$ $x\sim z$

За визначенням 2 маємо і . І тепер по транзитивності , ми маємо . $x\succsim y$ $y\succsim z$ $\succsim$ $x\overset{1}{\succsim} z$

Аналогічно маємо також і . І так знову транзитивністю , ми маємо . $y\succsim x$ $z\succsim y$ $\succsim$ $z\overset{2}{\succsim} x$

З огляду на та , за визначенням 3 маємо . $\overset{1}{\succsim}$ $\overset{2}{\succsim}$ $x\sim z$

Основні настройки та визначення.

Визначення 1. А (бінарне) відношення (на множині ) таке: $R$ $X$

Симетричний, якщо для всіх , ; $x,y\in X$ $xRy \iff yRx$
Рефлексивне, якщо для всіх , ; $x\in X$ $xRx$
Перехідні , якщо для всіх , і увазі . $x,y,z\in X$ $xRy$ $yRz$ $xRz$

Нехай - наш набір альтернатив. $X$

Визначення 2. Нехай рефлексивне і транзитивне відношення на . $\succsim$ $X$

Ми інтерпретуємо як відношення, яке є найбільш переважним. $\succsim$

Визначення 3. якщо і . $x \sim y$ $x \succsim y$ $y \succsim x$

Ми інтерпретуємо як відношення байдужості. $\sim$

Визначення 4. якщо і . $x \succ y$ $x \succsim y$ $y \not\succsim x$

Ми інтерпретуємо як суворо переважне відношення. $\succ$

— Кенні LJ
джерело

Визначальними характеристиками слабкого відношення переваги є його транзитивність та повнота. Рефлексивність є наслідком.

≿

$\succsim$

≿

$\succsim$

— Кеннет Ріос

@KennethRios: Я хотів безпосередньо вирішити питання (а), не доводивши також доказувати, що рефлексивність є наслідком. Питання (-и) включали, зокрема, таке: "Зараз я не дуже розумію таку пропозицію: Якщо (вихідне відношення) є рефлексивним і перехідним, то (похідне відношення) є рефлексивним, симетричним і перехідний $R$ $I$ ".

— Кенні LJ

Звичайно. Просто випереджаючи плутанину у випадку, якщо ОП помилково вважає, що всі відносини, які є як рефлексивними, так і перехідними, є відносинами переваг.

— Кеннет Ріос

2

Якщо обидва і , то індиферентність відносини є симетричним за визначенням. Не всі симетричні відношення є відношеннями еквівалентності. Однак вам дано, що також є рефлексивним і транзитивним. Таким чином , ми маємо , що симетрично, рефлексивно і транзитивне. Тому , або , є відношенням еквівалентності. $xRy$ $yRx$ $\forall x,y \in X$ $I$ $R$ $I$ $I$ $\sim$

Ви можете перевірити, що є відношенням еквівалентності, прочитавши визначення трьох властивостей. або - відношення переваги (слабке), також відоме як загальний попередній порядок. Загальні передпорядки транзитивні, повноцінні, а тому рефлексивні. $\sim$ $R$ $\succsim$

Майте на увазі, що рефлексивність і транзитивність не обов'язково означають симетрію: задані є чітко рефлексивними і перехідний, але не симетричний, оскільки але не . $R = \{(x,x), (y,y), (x,y)\}$ $X = \{x,y\}$ $xRy$ $yRx$

— Кеннет Ріос
джерело