Сумніви щодо відношення еквівалентності


0

У класі я робив нотатки про відносини еквівалентності, визначені як:

Дано загальне відношення R на X , xIy якщо обидва xRy і yRx

Тепер я не дуже розумію таку пропозицію:

Якщо R (вихідне відношення) є рефлексивним і перехідним, то I (похідне відношення) є рефлексивним, симетричним та перехідним.

Крім того, як я можу довести, що має дві властивості, призводить до того, що у однакові дві властивості + симетрія?RI

Відповіді:


3

Я вважаю, що ваші запитання:

Q1. Чому не симетричний?

Q2. Чому (a) симетричний; (б) рефлекторні; та (c) транзитивні?

Відповіді:

А1. Припустимо, . Тоді за визначенням 4 (див. Основні настройки та визначення нижче), і . Тому, за тим самим визначенням, . Таким чином, не є симетричним.xyx y y ̸ x y x xyy≿̸xyx

А2. Нехай .x,y,zX

A2 (a) і (визначення 3) . xy xyyx yx

A2 (b) За визначенням 2 , . І так, за визначенням 3 , .xxx xxx

A2 (c) Припустимо, і . (Ми покажемо, що .)xyyzxz

За визначенням 2 маємо і . І тепер по транзитивності , ми маємо .xyyzx1z

Аналогічно маємо також і . І так знову транзитивністю , ми маємо .yxzyz2x

З огляду на та , за визначенням 3 маємо .12 xzxz


Основні настройки та визначення.

Визначення 1. А (бінарне) відношення (на множині ) таке:RX

  • Симетричний, якщо для всіх , ;x,yXxRyyRx

  • Рефлексивне, якщо для всіх , ;xXxRx

  • Перехідні , якщо для всіх , і увазі .x,y,zXxRyyRzxRz

Нехай - наш набір альтернатив.X

Визначення 2. Нехай рефлексивне і транзитивне відношення на .X

Ми інтерпретуємо як відношення, яке є найбільш переважним.

Визначення 3. якщо і .xyxyyx

Ми інтерпретуємо як відношення байдужості.

Визначення 4. якщо і .xyxyy≿̸x

Ми інтерпретуємо як суворо переважне відношення.


Визначальними характеристиками слабкого відношення переваги є його транзитивність та повнота. Рефлексивність є наслідком.
Кеннет Ріос

@KennethRios: Я хотів безпосередньо вирішити питання (а), не доводивши також доказувати, що рефлексивність є наслідком. Питання (-и) включали, зокрема, таке: "Зараз я не дуже розумію таку пропозицію: Якщо (вихідне відношення) є рефлексивним і перехідним, то (похідне відношення) є рефлексивним, симетричним і перехіднийRI ".
Кенні LJ

Звичайно. Просто випереджаючи плутанину у випадку, якщо ОП помилково вважає, що всі відносини, які є як рефлексивними, так і перехідними, є відносинами переваг.
Кеннет Ріос

2

Якщо обидва і , то індиферентність відносини є симетричним за визначенням. Не всі симетричні відношення є відношеннями еквівалентності. Однак вам дано, що також є рефлексивним і транзитивним. Таким чином , ми маємо , що симетрично, рефлексивно і транзитивне. Тому , або , є відношенням еквівалентності.xRyyRx x,yXIRII

Ви можете перевірити, що є відношенням еквівалентності, прочитавши визначення трьох властивостей. або - відношення переваги (слабке), також відоме як загальний попередній порядок. Загальні передпорядки транзитивні, повноцінні, а тому рефлексивні.R

Майте на увазі, що рефлексивність і транзитивність не обов'язково означають симетрію: задані є чітко рефлексивними і перехідний, але не симетричний, оскільки але не .R={(x,x),(y,y),(x,y)}X={x,y}xRyyRx

Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.