У штаті Мексас, два політики (пан BO, або "політик 1", і пан TC, або "політик 2") інтенсивно змагаються за місце сенату. Два політики витрачають на рекламу, щоб збільшити кількість прихильників. Політичний консультант вважає, що оптимальні витрати на рекламу пана BO, $ S_ {1} $ , залежить від витрат $ S_ {2} $ паном Т.С. і параметром "уподобання" $ alpha $ що впливає на популярність Містера BO в Мексиці: $ {Уравнение 1:} S_ {1} = f ліворуч (S_ {2}, альфа-право), $$ де $ f: mathbb {R} _ {+} ^ {2} стрілка mathbb {R} $ є двічі безперервно диференційованим, $ 0 & lt; frac {частковий f (S_ {2}, альфа-право)} {частковий S} & lt; 1 $ і $ 0 & lt; frac {часткова f ліва (S_ {2}, альфа-права)} {часткова альфа} & lt; 1 $ за всіх $ S_ {2} geq 0 $ і все $ alpha geq 0 $ .
Оптимальні витрати політика 2 залежать від витрат $ S_ {1} $ політика 1 і параметр "почервоніння" $ beta $ , що впливає на кількість людей, які дотримуватимуться пана ТК: $$ {Формула 2:} S_ {2} = g ліворуч (S_ {1}, бета-версія), $$ де $ g: mathbb {R} _ {+} ^ {2} стрілка mathbb {R} $ є двічі безперервно диференційованим, $ 0 & lt; frac {часткова g (S_ {1}, альфа-права)} {часткова S} & lt; 1 $ і $ 0 & lt; frac {частковий g лівий (S_ {1}, альфа-право)} {частковий альфа} & lt; 1 $ за всіх $ S_ {1} geq 0 $ і все $ beta 0 $ .
Значення рівноваги $ S_ {1} $ і $ S_ {2} $ задаються рішенням одночасних рівнянь (1) і (2). Припустимо, що існує унікальне рішення $ S_ {1} ^ {*} & gt; 0 $ і $ S_ {2} ^ {*} & gt; 0 $ .
Чи збільшується $ alpha $ (проведення $ beta $ постійно) обов'язково збільшують або обов'язково зменшують $ S_ {1} ^ {*} $ ? Поясніть.
Моя спроба: Тут я використав теорему неявної функції, щоб відповісти на це питання, оскільки ми по суті шукаємо порівняльну статику $ frac {mathrm {d} S_ {1} ^ {*}} {mathrm {d} alpha} $ .
Оскільки з рівняння 2, $ S_ {2} ^ {*} = g ліворуч (S_ {1} ^ {*}, бета-версія) $ , Я підставив $ S_ {2} ^ {*} $ в рівнянні отримати $$ S_ {1} ^ {*} = f ліворуч (g ліворуч (S ^ {*} _ {1}, бета-права), альфа-право). Потім з тих пір $$ S_ {1} ^ {*} - f ліворуч (g ліворуч (S ^ {*} _ {1}, бета-права), альфа-права) = 0 екв. F, $$ Я можу застосувати теорему неявних функцій (IFT) для виведення $ frac {mathrm {d} S_ {1} ^ {*}} {mathrm {d} alpha} $ .
Тому $$ frac {mathrm {d} S_ {1} ^ {*}} {mathrm {d} alpha} = - frac {frac {частковий F} {частковий альфа}} {\ t {часткова F} {часткова S {1}}} = - frac {frac {часткова f ліва (права)} {часткова альфа}} {1 - frac {часткова f (праворуч)} {частковий g} frac {частковий g лівий (праворуч)} {частковий S_ {1} ^ {*}}} frac {& gt;} {& lt;} 0. $$
Оскільки ми не знаємо ознаки похідної $ frac {часткова f ліва (праворуч)} {часткова g} $ , ефект від $ alpha $ на $ S ^ {*} _ {1} $ неоднозначний.
Чи відповідає моя відповідь сенс?