Показаний граничний продукт капіталу не залежить від масштабу виробництва

Зображення є досить зрозумілим. Щоб додати деякий контекст, я вивчаю Теорію росту Солового лебедя, і мій професор сказав, що граничний продукт не зміниться, якщо і капітал, і праця збільшаться в одній шкалі.

Я інтуїтивно можу зрозуміти, що це має сенс, але намагатися застосувати просте рівняння (синє, визначення постійного граничного добутку) просто не працює.

Це я не частково розмежовую правильно, або вся теорія неправильна.

Я не бачу нічого поганого в тому, що я зробив, але чому вони не однакові?

Тут відбувається щось досить витончене, що означає, що ваш фінальний рядок неправильний (але це легко зробити помилку і важко помітити).

Для обчислення MPK, ми повинні розрізняти виробничу функцію по відношенню до поточного рівня капіталу: .$\partial F/\partial K$

Але в останньому рядку ви не розрізняєте поточний рівень капіталу (який є ). Ви натомість диференціюєте відносно , що є часткою від поточної суми капіталу.$\tilde{K}=\lambda K$$K$$1/\lambda$

Якщо ми обчислимо похідну відносно замість просто то все працює як слід:$\tilde{K}\equiv \lambda K$$K$

$$\frac{\partial F(\lambda K,\lambda L)}{\partial \lambda K}=\frac{\partial (8(\lambda K)^{1/2}(\lambda L)^{1/2})}{\partial \lambda K}=4(\lambda K)^{-1/2}(\lambda L)^{1/2}=4\frac{\sqrt{L}}{\sqrt{K}}.$$

Це не залежить від тому MPK дійсно не залежить від масштабів економіки. QED$\lambda$