Топологічні поняття в економічній теорії

16

ПИТАННЯ: Які основні чи систематичні застосування математики після 1960-х років до мікроекономіки?

Наприклад, наприкінці 19 століття Фішер вперше використав математичні ідеї Гіббса для побудови сучасної теорії корисності. У 20 столітті Мас-Коллл включив топологічні ідеї для вивчення загальної рівноваги. А як щодо кінця 20 - початку 21 століття?

Наприклад, розглянемо теорію спрямованих графів, теорію вимірювань, топологію, теорію категорій та сучасну гомологію чи когомологію, методи топосу, функціональну інтеграцію тощо.

Примітка 1 : економетрика / статистика без моделювання виключається. Єдина сучасна математика, яка використовується там, - це теорія випадкової ходьби та ергодична задача, що вирішується за допомогою комплексного аналізу. RW та EP не характерні для економіки.

Будь-яка відповідна економічна публікація - це відповідь. Сюди входили також публікації в не строго економічних журналах, наприклад, Журналі математичної психології .

Примітка 2 : Так, я знаю, цей вид роботи рідше (не плутати з неясністю: деякі з них добре відомі). Саме це дозволяє легко пропустити таке посилання під час його публікації. Звідси питання.

Я думаю, що більшість подібних досліджень були передані Журналу математичної економіки у випадку Micro. У економетрії використовується багато функціонального аналізу, у топ-журналах, але чисто топологія трохи менше. Давно минулі дні Хільденбрана, Канная, Масколела, Дебре, Чичильницького, Андерсона та Ерроу.

— користувач157623

1

Я голосую за закриття як занадто широке. Мені не дуже зрозуміло, що саме ви хотіли б включити чи виключити і що мотивує ці критерії.

— Jyotirmoy Bhattacharya

2

Заголовок більш стислий, ніж суть питання, де фокус різко розширюється. Можливо, вам слід розглянути можливість повторної роботи корпусу питання.

— Алекос Пападопулос

@GuidoJorg Що про просто "Які основні сфери застосування математики після 1960-х років до мікроекономіки?" Для мене посилання на Мас-Коулла та Фішера та безліч виключень із запитань ускладнюють вирішення питання про те, що було б відповісти.

— Jyotirmoy Bhattacharya

1

Зроблено. Чи краще питання структуровано зараз?

13

Я сильно підозрюю, що важливою областю для застосування теорії вимірювань стане нова технологія наближення динамічного програмування. Орієнтовне динамічне програмування (так само "підкріплення навчання" в літературі з інформатики) було напрямком науково-дослідної роботи в останні ~ 10-20 років літератури динамічного програмування. Економіка лише зараз починає сприймати деякі ці досягнення. Наприклад, напрям літератури про ДП, див. Останнє розширення Берцекаса 4-го видання його серії динамічного програмування, або Приблизний ДП Пауелла : Розв’язання прокляття розмірності. Економісти тільки починають підбирати деякі з цих інструментів як прямо, так і опосередковано, і я підозрюю, що вони матимуть все більший вплив на літературу протягом наступних кількох років. Деякі аналітичні передумови для зближення цих методів - це топологія та динамічні системи.

Хорошим прикладом теоретичного внеску в цей вид літератури економістів є Пал і Стачурський (2013), пристосовані значення значення ітерації із ймовірністю однієї стиснення ( тут є необ'єднана версія ). Перегляньте цей документ і ви зможете побачити важливість хорошого розуміння теорії мір. Книга Стачурського « Економічна динаміка» насправді є дуже приємною експозицією динамічного програмування з цієї точки зору, будуючи темпом, який працює для декількох рівнів аспіранта / професіонала (теорія мір формально приходить в кінці, я вважаю - я все ще працюю над ці уявлення).

Сподіваємось, це певною мірою відповідає на ваше запитання. Я боюся, що фраза "математика після 1960-х" є для мене дещо неоднозначною (через мою власну незнання історії літератури з математики), тож якщо я повністю пропустив оцінку, вибачте мене!

— CompEcon
джерело

1

Я стежу за книгою Стачурського :) Відповім через день.

1

@GuidoJorg: Я переглянув Стачурського, щоб дати вам кілька покажчиків на конкретні місця, і зрозумів, що у мене болить мозок - думав про застосування теорії вимірювань , а не топології . Відредагували відповідь, щоб це відобразити. Мої вибачення! Повідомте мене, чи Q все ще відповідає на ваше запитання (як видається, у вашій редакції, але хотів перевірити!). Також хотів зазначити, що це технічно, як правило, програми в макрокоманді (але я думаю, що ця лінія буде розмитою, оскільки деякі з цих методів просуваються).

— CompEcon

1

Теорія вимірювань - це добре :) До речі, я отримав книгу. Я також знайшов пару інших останніх монографій, які видаються спорідненими, і одна з топології.

1

Мені подобається книга Стачурського. Він добре співпадає з іншою недавньою літературою з математичної економіки: я щойно закінчив кілька інших книг 1990-х - 2010 років, які претендували на математично сучасні теоретичні внески (стосуються загальної рівноваги незавершених ринків, чутливості до початкових умов, інвестицій у технології тощо); але вони були майже всіма невтішними варіантами стандартних кейнсіанських моделей із звичайними проблемами таких моделей, і всі вони застосовували математику, якщо взагалі поверхово і не дуже елегантно.

8

Це було занадто довго для коментарів. "Пост 1960" здається довільною і дуже високою смугою для прикладної галузі, включаючи мікро теорію. Більшість названих вами тем не вважатиметься сучасною математикою. Наприклад, теорія вимірювань почалася з дисертації Лебега і вже понад століття. Топологія ще старша і розпочалася з Пуанкаре, який представив групи гомології. Вони обидва навчаються до нижчих класів, як числення. (Математика, якою користуються Mas-Colell та ін. В GE, - це аналіз, а не топологія.)

Зовнішність науково-дослідних програм, які керують сучасною математикою з середини 20 століття, для прикладного співтовариства в кращому випадку непряма. Точка зору та прийоми, мотивовані, наприклад, некомутативною геометрією, програмою Лангленда, гіпотезою Пуанкаре, гіпотезією Баума-Коннеса, гіпотезою близнюків (Польові медалі були нагороджені після 1960 року за прогрес у цих проблемах) тощо. --- напевно, ніколи не побачимо поза математикою. Математичні фінанси, звичайно, залишаються математикою, але це досить відсторонено з економічної точки зору.

Редагування Виявляється, що, звертаючись безпосередньо до вашого питання, було застосовано топологію до теорії соціального вибору, ініційовану Chichilnisky, et. ін. Ось документ JET на тему тополога:

http://math.uchicago.edu/~shmuel/TSC.pdf .

Можливо, хтось із знанням топології може прокоментувати далі.

— Майкл
джерело

5

Простіри Лоеба використовували для моделювання ситуацій із континуумом агентів. Дивіться http://eml.berkeley.edu/~anderson/Book.pdf та розділи Sun про економічні додатки у книзі Нестандартний аналіз для працюючого математика .

— Джотірмой Бхаттачарія
джерело

2

Я думаю, що рясно сказати, що простори Лоба дещо застаріли для моделювання континууму агентів. Для сучасної точки зору см graduate.math.nus.edu.sg/~g0800878/HSS.pdf

— Майкл Greinecker

5

Теорія мір широко використовується в проблемі справедливого поділу (він же "різання пирога"). Дивіться багато статей про справедливість у економічних журналах .

Для конкретного прикладу див. Тацуро Ічійші та Адам Ідзик, "Справедливе розподілення товарів, що поділяються", JME 1999 .

— Ерел Сегал-Халеві
джерело

1

Окрім твору Чичильницького, згаданого Майклом, ще одне цікаве використання топології в теорії соціального вибору з'являється в роботі Редекопа про теорему Ерроу про економічні сфери.

Редекоп, Ж. (1991). Соціальна допомога функціонує у обмежених економічних сферах. Журнал економічної теорії, 53, 396–427.
Редекоп, Ж. (1993а). Економічна сфера, що не відповідає політиці зі стрілкою. Соціальний вибір та добробут, 10, 107–126.
Редекоп, Дж. (1993b). Топологія анкети щодо деяких просторів економічних преференцій. Журнал математичної економіки, 22, 479–494.
Редекоп, Ж. (1993c). Функції соціального забезпечення в параметричних областях. Соціальний вибір та добробут, 10, 127–148.
Редекоп, Дж. (1995). Теореми стрілок в економічних умовах. У роботі WA Barnett, H. Moulin, M. Salles, & NJ Scfield (Ред.), Соціальний вибір, добробут та етика (с. 163–185). Кембридж: Кембриджський університетський прес.
Редекоп, Ж. (1996). Теореми стрілок у змішаних товарах, стохастичному та динамічному економічних умовах. Соціальний вибір та добробут, 13, 95–112.

Теорема неможливості Ерроу спочатку була доведена для абстрактного набору альтернативних варіантів, що дозволяло використовувати всі можливі профілі переваг над цим набором альтернатив. Питання, яке задавали Редекоп (та інші), було: чи існує еквівалент теореми Ерроу, коли альтернативами є пакети товарів, а агент має "класичні" переваги над цими товарами (монотонні, опуклі, безперервні, егоїстичні, ...).

Точніше, питання полягало в тому, чи існуватиме функція соціального добробуту, що задовольняє три аксіоми Арровія (Незалежність невідповідної альтернативи, Слабка Парето та Недиктатура) в цих економічних сферах (див. Ле Бретон, Мішель та Джон А. Веймарк ". Розділ сімнадцять-арровійська теорія соціального вибору з економічних областей. "Довідник соціального вибору та добробуту 2 (2011): 191-299 для чудового огляду, на якому ґрунтується ця відповідь".

Приблизно, робота Редекопа показує, що для деяких економічних проблем, якщо область преференцій передбачає функцію соціального забезпечення в Аррові, домен повинен бути "невеликим" в якомусь топологічному сенсі. Наприклад, у Редекопі (1991) він вводить геніальну топологію щодо наборів уподобань, яку він охрестив топологією анкети , і показує, що в економіці суспільних благ, якщо область преференцій передбачає функцію соціального добробуту в Арровії, то домен повинен не буде ніде щільним у відповідності з цією топологією (тобто закриття домену не містить відкритого набору).

— Мартін Ван дер Лінден
джерело