Еластичність заміни між дозвіллям у два періоди

Це основне питання, але я новачок у макромоделях. Питання - з тексту Ромера.

Припустимо, що в домогосподарстві є лише один член і не має початкового багатства, а домогосподарство живе два періоди. Ми маємо

U = \ln (c_{1}) + б \ln (1 - л_{1}) + е^{- ρ} [\ln (c_{2}) + б \ln (1 - л_{2})],

$U=\ln(c_1)+b\ln(1-l_1)+e^{-\rho}[\ln(c_2)+b\ln(1-l_2)],$ де

c_{i} = w_{i} l_{i}

$c_i=w_il_i$ і

ρ

$\rho$ - знижка ставка в

(0, 1)

$(0,1)$ .

У тексті сказано: «Через логарифмічну функціональну форму еластичність заміщення між дозвіллям у два періоди дорівнює $1$ ». Я намагався переконатися, що пружність дорівнює $1$ як показано нижче:

Нехай U_1 позначає часткову похідну U відносно $l_1$ . Подібно до $U_2$ . Потім,

Е_{21} = \frac{г \ln (л_{2} / л_{1})}{г \ln (U_{1} / U_{2}} = (\frac{г л_{2}}{л_{2}} - \frac{г л_{1}}{л_{1}}) / (\frac{г U_{1}}{U_{1}} - \frac{г U_{2}}{U_{2}}),

$E_{21}=\frac{d\ln(l_2/l_1)}{d\ln(U_1/U_2}=(\frac{dl_2}{l_2}-\frac{dl_1}{l_1})/(\frac{dU_1}{U_1}-\frac{dU_2}{U_2}),$ де

U_{1} = \frac{1}{U_{1}} - \frac{b}{1 - l_{1}}

$U_1=\frac{1}{U_1}-\frac{b}{1-l_1}$ і

d U_{1} = (- \frac{1}{l_{1}^{2}} - \frac{b}{(1 - l_{1})^{2}}) d l_{1}

$dU_1=(-\frac{1}{l_1^2}-\frac{b}{(1-l_1)^2})dl_1$ . Як міг

E_{21} = 1

$E_{21}=1$ ? Насправді у мене вийшло щось супер безладне. Тому я сумніваюся, чи правильний мій підхід чи ні. Можливо, моя формула не вірна? Спасибі заздалегідь!

— Вівіан Міллер
джерело

Подивіться тут en.wikipedia.org/wiki/Elasticity_of_intertemporal_substitution

— caverrac

$l_i$ $\frac{d\ln\frac{1-l_2}{1-l_1}}{d\ln (U_1/U_2)},$ $\frac{d\ln\frac{l_2}{l_1}}{d\ln (U_1/U_2)}$ $U_i$

\begin{matrix} U_{1} = \frac{б}{1 - л_{1}} & U_{2} = \frac{б е^{- ρ}}{1 - л_{1}} \end{matrix},

$\begin{matrix} U_1=\frac{b}{1-l_1} & U_2=\frac{be^{-\rho}}{1-l_1}\end{matrix},$

що призводить до того, що гранична швидкість заміщення є

М R S = \frac{U_{1}}{U_{2}} = \frac{1 - л_{2}}{1 - л_{1}} \frac{1}{е^{- ρ}} .

$MRS=\frac{U_1}{U_2}=\frac{1-l_2}{1-l_1}\frac{1}{e^{-\rho}}.$

Якщо ви берете логарифм, ви отримуєте

\ln М R S = \ln \frac{1 - л_{2}}{1 - л_{1}} + \ln \frac{1}{е^{- ρ}},

$\ln MRS = \ln \frac{1-l_2}{1-l_1}+\ln\frac{1}{e^{-\rho}},$

де корисно зауважити, що останній член РЗС є постійною. Тепер сумарний диференціал є

г \ln М R S = г \ln \frac{1 - л_{2}}{1 - л_{1}} + 0,

$d\ln MRS = d\ln \frac{1-l_2}{1-l_1}+0,$

і ви отримуєте бажаний результат.

— Патрісіо
джерело