Властивість субмодульності в іграх перевантаженості?

Нехай - гравців, а -елементи заторів .н $G$$n$$m$

Для рівноваги позначаємоS U P ( e ) ≜ < s u p 1 ( e ) , s u p 2 ( e ) , … , s u p n ( e ) $e$

$$SUP(e)\triangleq<sup_1(e),sup_2(e),\ldots, sup_n(e)>$$

Якщо $sup_i(e)$ містить підтримку $i$ -го гравця, який грає $e$ (набір стратегій, які $i$ граю з позитивною ймовірністю).

Крім того, ми говоримо, що $SUP(e)\subseteq SUP(e')$ iff $\forall i\in[n]: sup_i(e)\subseteq sup_i(e')$ , тобто кожен гравець $e$ рандомізує свою дію на підмножину з дій, які він міг обрати, граючи $e'$ .

Останнє визначення - соціальна вартість, $SC(e)$ яка визначається як сума витрат для гравців.

Нехай $e,e'$ два (можливо , змішані) рівноваг для $G$ .

Чи має

$$SUP(e)\subseteq SUP(e')$$ слід , $$SC(e) \leq SC(e')$$ ?

Це твердження загалом не відповідає дійсності . Можна показати, що це правда у випадку і . Тут я демонструю приклад лічильника, коли і .$n=2$$m=2$м = $n=3$$m=2$

Короткий коментар. Ми можемо перефразувати питання словами: чи є рівновага Неша, який є "більш випадковим" ( проти ) менш ефективним? Інтуїтивно зрозуміло, що в міру відтворення більш змішаних стратегій реалізований результат є більш випадковим і може бути дуже неефективним через відсутність координації між агентами. Коли агенти відіграють чисті стратегії, ми можемо подумати, що ми зменшуємо проблему координації, враховуючи те, що ми вважаємо рівновагу Неша. Ця інтуїція не дотримується, якщо пропозиція помилкова, як я покажу, коли і . e n = 3 м = $e'$$e$$n=3$$m=2$

Позначимо і дві можливі дії. Функції затримки визначаються так: , , і , , . Це означає, що коли агенти відтворюють (відповідно ), вони отримують виграш (відповідно ). Це (симетрична) загроза гри, поки функції затримки зростають.B d A ( 1 ) = 5 d A ( 2 ) = 7 d A ( 3 ) = 10 d B ( 1 ) = 1 d B ( 2 ) = 6 d B ( 3 ) = 7 x A B - d A ( x ) - d B ( x $A$$B$$d_A(1)=5$$d_A(2)=7$$d_A(3)=10$$d_B(1)=1$$d_B(2)=6$$d_B(3)=7$$x$$A$$B$$-d_A(x)$$-d_B(x)$

Визначимо як рівновага , коли один агент грає і 2 агенти грають . Визначте як рівновагу, коли 1 агент завжди грає , а 2 інші грають з ймовірністю і з вірогідністю . Він задовольняє властивості .B E ' B μ = 2 / 3 В 1 - μ = 1 / 3' сек у р ( е ) ⊆ з у р ( е '$e$$A$$B$$e'$$B$$A$$\mu=2/3$$B$$1-\mu=1/3$$sup(e) \subseteq sup(e')$

По-перше, ми покажемо, що - рівновага Неша. Агент, який грає в , максимізує свою виплату, враховуючи стратегію двох інших гравців при виборі краще, ніж вибір , (тобто ). Обидва агенти, які грають на , грають оптимально, якщо (тобто ). Таким чином, є рівновагою Неша, і його соціальна вартість .A A B d A ( 1 ) < d B ( 3 ) 5 < 7 B d B ( 2 ) < d A ( 2 ) 6 < 7 e d A ( 1 ) + 2 d B ( 2 ) = 17 = $e$$A$$A$$B$$d_A(1)<d_B(3)$$5<7$$B$$d_B(2)<d_A(2)$$6<7$$e$$d_A(1)+2d_B(2)=17=\frac{153}{9}$

По-друге, ми показуємо, що - це рівновага Неша. З одного боку, агент, який грає , максимізує її виграш, коли двоє інших грають у змішану стратегію, якщо їй краще грати ніж , тобто , це правда. З іншого боку, кожен із агентів, що грають у змішану стратегію, байдужий між вибором або якщо тобто . B B A ( 1 - µ ) 2 d B ( 3 ) + 2 µ ( 1 - µ ) d B ( 2 ) + μ 2 d B ( 1 ) < ( 1 - µ ) 2 d A ( 1 ) + 2 мк ( 1 - мк ) д А ( $e'$$B$$B$$A$

$$(1-\mu)^2d_B(3)+2\mu(1-\mu)d_B(2)+\mu^2d_B(1)<(1-\mu)^2d_A(1)+2\mu(1-\mu)d_A(2)+\mu^2d_A(3)$$ ABμdA(2)+(1-μ)dA(1)=μdB(2)+(1-μ)dB(3)$\frac{1}{9}5+\frac{4}{9}7+\frac{4}{9}10<\frac{1}{9}7+\frac{4}{9}6+\frac{4}{9}1$$A$$B$ $$\mu d_A(2)+(1-\mu)d_A(1)=\mu d_B(2)+(1-\mu)d_B(3)$$ $\frac{19}{3}=\frac{19}{3}$$e'$тоді рівновага Неша і його соціальна вартість дорівнює що дорівнює . $$(1-\mu)^2 [3d_B(3)]+2\mu(1-\mu)[d_A(1)+2d_B(2)]+\mu^2[2d_A(2)+d_B(1)]$$ $\frac{1}{9}21+\frac{4}{9}17+\frac{4}{9}15=\frac{149}{9}$

Нарешті ми показали, що але . Врівноваженість Неша зі змішаною стратегією призводить до нижчих соціальних витрат, ніж чисто-стратегічна.$sup(e) \subseteq sup(e')$$SC(e) > SC(e')$