Скорочена форма економетричної моделі, проблема ідентифікації та тест

Шукаєте деяку допомогу, щоб зрозуміти наступну проблему та як використовувати скорочену форму в економетриці

Розглянемо модель здоров'я особи:

h e a l t h = b_{0} + (b_{1}) a g e + (b_{2}) w e i g h t + (b_{3}) h e i g h t + (b_{4}) m a l e + (b_{5}) w o r k + (b_{6}) e x e r c i s e + u

$health = b_0 + (b_1)age + (b_2)weight + (b_3)height + (b_4)male + (b_5)work + (b_6)exercise + u$

припустимо, що всі змінні рівняння за винятком вправи некорельовані з u.

А) Запишіть зменшену форму для вправи та вкажіть умови, за яких визначаються параметри рівняння.

Б) Як можна перевірити припущення ідентифікації в частині c?

Чи правильно вважати:

e x e r c i s e = b_{0} + (b_{1}) a g e + (b_{2}) w e i g h t + (b_{3}) h e i g h t + (b_{4}) m a l e + (b_{5}) w o r k + u

$exercise = b_0 + (b_1)age + (b_2)weight + (b_3)height + (b_4)male + (b_5)work + u$ як скорочена форма?

і є умовою для ідентифікації параметрів просто

$E(exercise|u)=0$

і як я можу це перевірити? Але більше того, для чого це добре?

econometrics

— Клементе Кортиль
джерело

Відповіді:

Це дуже стандартне питання щодо інструментальних змінних лінійних моделей з одинарним рівнянням. З огляду на примітиви вашого питання, єдиною ендогенною змінною є вправа . Для того, щоб відповісти на це конкретне питання, вам потрібна екзогенна змінна z , яка задовольняє двом умовам:

cov (z, u) = 0.
Має бути взаємозв'язок між ендогенною змінною та цією екзогенною змінною, яку ви пропонуєте, але вона не була частиною справжньої постульованої моделі (структурної моделі). Іншими словами, з , і ортогональна для всіх ваших пояснювальних змінних (крім вправ) та до z. $e x e r c i s e = β_{0} + β_{1} a g e + β_{2} w e i g h t + β_{3} h e i g h t + β_{4} m a l e + β_{5} w o r k + ϕ z + ε_{e x e r c i s e}$ $exercise=\beta_0+\beta_1 age +\beta_2 weight + \beta_3 height + \beta_4 male + \beta_5 work + \phi z + \varepsilon_{exercise}$ $\phi\ne 0$ $\mathbb{E}\,( \varepsilon_{exercise})=0$

Перш ніж рухатися далі, зауваження. Під структурною моделлю я маю на увазі, дотримуючись конвенції Вулдріджа та Гольбергера, постульовану модель. Тобто модель, яка констатує причинно-наслідковий зв’язок між здоров’ям та вашими коваріатами. Це ключова відмінність і незгода з попередніми відповідями.

Тепер, повертаючись до проблеми, що склалася, умова 2 - це те, що в літературі з одночасними рівняннями називають рівнянням зведеної форми , що є не що інше, як лінійна проекція ендогенного на всі екзогенні змінні, включаючи z.

Тепер підключіть зменшену форму до вашої постульованої моделі, і ви отримаєте

h e a l t h = α_{0} + α_{1} a g e + α_{2} w e i g h t + α_{3} h e i g h t + α_{4} m a l e + α_{5} w o r k + δ z + ν

$health=\alpha_0 + \alpha_1 age + \alpha_2 weight + \alpha_3 height + \alpha_4 male + \alpha_5 work + \delta z + \nu$ де , і . За визначенням лінійної проекції некорельовано з усіма пояснювальними змінними, і таким чином OLS цього останнього рівняння дасть послідовні оцінки для та , а не за основу у справжній моделі.

α_{i} = b_{i} + b_{6} β_{i}, \forall i \in {1, \dots, 5}

$\alpha_i = b_i + b_6\beta_i,\: \forall i \in \{1,\dots,5\}$

δ = b_{6} ϕ

$\delta=b_6\phi$

ν = u + b_{6} ε_{e x e r c i s e}

$\nu = u+b_6\varepsilon_{exercise}$

ν

$\nu$

α_{i}

$\alpha_i$

δ

$\delta$

b_{i}

$b_i$

Ідентифікація вимагає трохи маніпуляцій у матричній формі, але по суті вона зводиться до так званої умови ранжування . Визначте та щоб ваша структурна модель була . Тепер визначте . За умовою 1 (cov (z, u) = 0, так що E (z, u) = 0), Якщо помножити ботові сторони структурної моделі на і прийміть очікування, що у вас є Умова рейтингу визначає, що $\mathbf{b}=(b_0,\dots,b_6)'$ $\mathbf{x}=(1, age, \dots, exercise)'$ $health=\mathbf{x}'\mathbf{b}+u$ $\mathbf{z}\equiv(1,age,\dots,work,z)'$

E (z u) = 0

$\mathbb{E}(\mathbf{z}u)=0$

z

$\mathbf{z}$

E (z x^{'}) b = E (z y)

$\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')\mathbf{b}=\mathbb{E}(\mathbf{z}y)$

E (z x^{'})

$\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')$ повна графа стовпця. У цьому конкретному прикладі та наведених умовах на z це еквівалентно Тому у нас 6 рівнянь у 6 невідомих. Отже, існує унікальне рішення для системи, тобто ідентифікується і дорівнює за бажанням.

r a n k (E (z x^{'}) = 6

$rank(\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')=6$

b

$\mathbf{b}$

[E (z x^{'})]^{- 1} E (z y)

$[\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')]^{-1}\mathbb{E}(\mathbf{z}y)$

Зауваження: Умова 1 корисна для отримання моменту, але модель скороченої форми з має вирішальне значення для умови ранжування. Обидві умови звичайні. $\phi$

У цей момент має бути зрозуміло, навіщо нам це потрібно. З одного боку, без z OLS-оцінювач справжньої моделі дасть невідповідні оцінки не лише для але і для всіх . З іншого боку (і дещо пов'язане) наші параметри однозначно ідентифікуються, тому ми впевнені, що ми оцінюємо справжній причинно-наслідковий зв’язок, як це зазначено в нашій справжній моделі. $b_6$ $b_i$

Що стосується тестування, умова 2 (z та фізичні вправи частково співвідносяться) можна перевірити безпосередньо, і вам слід завжди повідомляти про цей крок всупереч коментарю у попередній відповіді. Стосовно цього кроку існує величезна література, особливо література зі слабким інструментом.

Друга умова все-таки не може бути безпосередньо перевірена. Іноді можна звернутися до економічної теорії, щоб обґрунтувати або надати альтернативні гіпотези, які підтримують використання z.

— MauOlivares
джерело

Питання не має для мене особливого сенсу, як заявлено. Якщо проблема говорить про те, що вправа є ендогенною (корелює з терміном помилки), ви не можете припустити протилежне рішення. Крім того, зазвичай говорять про зменшену та структурну форму в контексті IV оцінки. Якщо вправа є ендогенною, вам потрібен інструмент (змінна, яка передбачає фізичне навантаження, але не впливає на здоров'я в іншому випадку) для отримання причинних наслідків. Наприклад, якщо хтось із вашої вибірки випадково виграв купони для членства в спортзалі, це може бути вагомим інструментом.

Тоді були б припущення щодо ідентифікації

купон дійсно передбачає вправу
купон є ортогональним до $u$

Що називається структурною формою, це два рівняння, одне - ваша оригінальна модель, інше - регресія вправи на купон та інші пояснювальні змінні від початкової моделі (перший етап). Скорочена форма була б, коли ви замінюєте перший етап основним рівнянням, тому ви регресуєте здоров'я за віком, вагою, ..., роботою та купоном (але не фізичними вправами , як це замінено). Скорочена форма іноді використовується для пояснення властивостей IV оцінки, але AFAIK це не так сильно використовується на практиці.

— ivansml
джерело