Коли приймач повинен рандомізувати різні дії в сигнальній грі?

Припустимо, існує гра сигналізації з кінцевим простором повідомлень , простором кінцевою дією і простором кінцевого типу . Навіть простіше, всі типи відправника мають однакові переваги (одержувач просто віддає перевагу різним діям у відповідь на різні типи). Чи може приймач колись зробити суворо краще, рандомізувавши відповіді? Коли існує рівновага, коли приймач здійснює лише чисті дії?$M$$A$$T$

Повсюдно добре підсумував моє запитання: "Чи буває так, що рівновага з найвищими виплатами отримувача обов'язково включає змішані стратегії?"

Пройдемо з послідовною рівновагою. Якщо ви хочете, щоб початок почався з.

t ∈ T m ∈ $\sigma_{t}(m)$ є ймовірність того, що посилає .$t\in T$$m\in M$

м в ∈ A . μ m ∈ Δ T $\sigma_R^m(a)$ - ймовірність того, що приймач реагує на з дає переконання приймача після дотримання .$m$$a\in A.$ $\mu^m \in \Delta T$$m$

Послідовна рівновага вимагає дати оптимальні відповіді заданими , є оптимальним заданим і - Байєсовим заданим . Це дійсно визначення слабкої послідовності, але відмінності в сигнальній грі немає.$\sigma_t$$\sigma_R$$\sigma_R$$\mu$$\mu$$\sigma$

Моя інтуїція говорить, що ні, коли існує рівновага, коли приймач виконує лише чисті дії, але мені завжди було жахливо з подібними речами. Можливо, ми також мусимо стверджувати, що це не гра з нульовою сумою, але я це лише кажу, тому що я пам’ятаю, що гравці краще встигають у цих іграх. Можливо, це десь виноска на папері?

Розглянемо гру, де налаштування відправника не є однаковими. Прошу вибачення за низьку якість. Існує три типи відправника, кожен однаково вірогідний. Ми можемо створити те, що, на мою думку, є оптимальним рівновагою приймача (програвача 2), лише якщо вони рандомізуються при отриманні повідомлення 1. Тоді типи 1 і 3 будуть грати , створюючи роздільну рівновагу. Якщо одержувач використовує чисту стратегію у відповідь на , то тип 1 або 2 буде відхилятися і погіршуватиме приймач.м $m_2$$m_1$

$\sigma_R^{m_1}(a)=.5=\sigma_R^{m_1}(r)=.5$

Можливо, у мене є контрприклад!

$m_1, m_2,$$m_3$$t_1,t_2,t_3$Pr(t=t2)=$\Pr(t=t_3)=\frac{1}{2}-\epsilon$ Pr(t=t1)=$\Pr(t=t_2)=\frac{1}{4}$м3$\Pr(t=t_1)=\frac{1}{4}+\epsilon$$m_3$$0$

Набір відповідей одержувача на повідомлення - { a , r $m=m_1,m_2$$\{a,r\}$

$u_t(a,m_1)=1 > u_t(a,m_2)=\beta>u_t(r,\cdot)=0$

u R ( t 3 , m i , a ) = $u_R(t_1,m_1,a)=u_R(t_2,m_2,a)=2$ , ,$u_R(t_3,m_i,a)=1$

u R ( t 3 , m i , r ) = $u_R(t_2,m_1,a)=u_R(t_2,m_1,a)=0$ , ,$u_R(t_3,m_i,r)=2$

$u_R(t_1,m_i,r)=u_R(t_2,m_i,r)=1$ .

Тоді в рівновазі всі відправники повинні отримати однакові утиліти, правильно ?. Інакше один імітуватиме стратегію іншого.

Отже, єдина чиста стратегічна рівновага для всіх відправників вибирає . У рівновазі об'єднання на або найкращою відповіддю є вибір . Не існує чистої стратегії, що розділяє рівновагу, за винятком випадків, коли і надсилають , а приймач відповідає . Тоді байдужий між усіма повідомленнями, тому що його неодмінно зустрінуть з виплатою . Все це дає одержувачу виграшm 1 m 2 r t 1 t 2 m 2 r t 3 0 $m_3$$m_1$$m_2$$r$$t_1$$t_2$$m_2$$r$$t_3$$0$$\frac{3}{2}-\epsilon$

Потім розглянемо випадок, коли іТепер відправники байдужі між надісланням цих двох повідомлень. Тоді нехай і для . Тоді стратегія приймача раціональна.сг м 2 Р ( ) = 1. сг т 3 ( м 1 ) = ε + 1 /$\sigma_R^{m_1}(a)=\beta$$\sigma_R^{m_2}(a)=1.$σтя(тя)=1я=1,$\sigma_{t_3}(m_1)=\frac{\epsilon+1/4}{-\epsilon+1/2}=1-\sigma_{t_3}(m_1)$$\sigma_{t_i}(m_i)=1$$i=1,2$

Очікувана корисність приймача від заданого або становить 1,5. Очікувана утиліта від трохи вище 1,5, якщо . Тож очікувана виплата очікується вище , краще, ніж чиста рівновага, описана вище. Крім того, це розділення підтримується лише змішуванням. Будь-яка інша чиста стратегія, прийнята одержувачем, призведе до об'єднання відправника, тобто єдиним чистим рівновагою стратегії є те, коли приймач вибирає . a r m 2 a $m_1$$a$$r$$m_2$$a$$\frac{3}{2}-\epsilon$$r$

Я повинен мати s на малюнку нижче, щоб виплати відправника з лівого боку до . Я думаю, що є ключовим інгредієнтом.a β < $\beta$$a$$\beta<1$

Я думаю , що це не може статися з схильними до ризику відправників, ризик нейтрального приймача і досить багатим.$A$

Наприклад, і щоб дотримуватися канонічної моделі сигналізації, припустимо, що - це позитивна реальна лінія, а корисність передавачів зростає часом, а лінійна утиліта зменшується на .$A$$u$$a$$a$

(Правда, це лише часткова відповідь, оскільки рамки набагато менш загальні, ніж відповіді у вашому запитанні, тому це може бути для вас незадовільним. Я все ж наводжу аргумент у випадку, якщо ви були з цим припущенням)

Щоб отримати протиріччя, припустимо , що при рівноважному і для деякого . Дозволяєσ m R ( a ″ ) > 0 a ′ ≠ a ″ ∈ $\sigma^m_R(a') > 0$$\sigma^m_R(a'') > 0$$a' \neq a'' \in A$

$$a''' \equiv \frac{\sigma^m_R(a')}{\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'') } a' + \frac{\sigma^m_R(a'')}{\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'') } a''.$$

За неприйняття ризику

$$u[ a''' ] > \frac{\sigma^m_R(a')}{\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'') } u(a') + \frac{\sigma^m_R(a'')}{\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'') } u(a'').$$ $$[\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'')] u( a''' ) > \sigma^m_R(a') u(a') + \sigma^m_R(a'') u(a'').$$

За деяким припущенням про безперервність, вони також повинні існувати

$$a '''' < a'''$$

такий як

$$[\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'')] u( a'''' ) = \sigma^m_R(a') u(a') + \sigma^m_R(a'') u(a'').$$

Тож розглянемо побудований таким чином$\sigma^m_R{'}$

• $\sigma^m_R{'}(a') = \sigma^m_R{'}(a'') = 0$ ,
• $\sigma^m_R{'}(a'''') = \sigma^m_R(a'''') + [\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'')]$
• Для всіх інших ,$\tilde{a}$$\sigma^m_R{'}(\tilde{a}) = \sigma^m_R(\tilde{a})$

Одержувачі вважають за краще над якби він не змінював сигнали, що надсилаються відправниками, оскільки це передбачає менші очікувані компенсації. Але за побудовою, відправники байдужі між та , тому вони повинні надсилати ті самі сигнали, що і в . Таким чином, не може бути рівновагою, що свідчить про те, що у рівноваги ми не можемо виконувати дві різні дії з позитивною ймовірністю. Σ m R σ m $\sigma^m_R{'}$$\sigma^m_R$ Σ m R σ m R σ m $\sigma^m_R{'}$$\sigma^m_R$$\sigma^m_R$$\sigma^m_R$