Розширення рівноваги Неша до ігор з нескінченними стратегіями

У підручнику Джелі та Рені (до якого слід додати, що я не читав багато, що не перевищує декількох розділів, що цікавлять), доведена теорема про те, що в іграх з обмеженою стратегічною формою завжди існує (змішана) рівновага Неша. У книзі передбачається, що всі гравці мають однакову кількість дій, але не важко уявити, як це може бути поширене на випадок, коли це не відповідає дійсності.

Мене, однак, цікавить, чи є якесь поширення цього на ігри, особливо на ті, де може бути нескінченний вибір. Наприклад, явно не існує рівноваги в грі, де гравець виграє, набравши найбільшу кількість, але якщо у нас, наприклад, та сама гра, але число повинно бути в інтервалі $[0, 100]$ (або будь-який інтервал, що містить верхню межу), найкращі функції реагування "сходяться". Так само я б підозрював, що в конкурентних моделях потрібно "добре поводити" функції витрат і попиту, щоб отримати "хороші" результати.

У мене є два питання:

Чи є якась чітко визначена установка, в якій гра з нескінченним вибором стратегії матиме рівновагу Неша?
Яким було б відповідне читання для цього?

game-theory reference-request

Відповіді:

Так, є така установка. Результат такий

Якщо у стратегії кожного гравця є простір

опуклий

компактний

і якщо виплати безперервні, то існує принаймні одна рівновага Неша (можливо, у змішаних стратегіях).

Це справедливо навіть тоді, коли сукупність можливих дій незліченно нескінченна. Якщо додатково припускати, що виплати є квазіконверсійними, то відповідність найкращої реакції буде опуклою навіть тоді, коли ми обмежимо увагу чистими стратегіями, так що нам гарантовано мати хоча б одну рівновагу в чистих стратегіях у такій грі.

Я вважаю, що тут є оригінальна посилання

І. Л. Гліксберг. " Подальше узагальнення теореми Какутані з фіксованою точкою із застосуванням до точок рівноваги Неша ". Праці Американського математичного товариства , 3 (1): 170–174, 1952.

Лікування в роботі Гліксберга, здається, не дуже доступне. Хорошим початковим посиланням, швидше за все, буде розділ 1.3 книги "Теорія ігор" Фуденберга і Тіроля .

— Всюдисущий
джерело

Чи означає, що "замкнутий і обмежений" обов'язково означає "опуклу і компактну"? Я можу уявити закриті та обмежені регіони, скажімо,

R^{2}

$\mathbb{R}^2$ це не було б опуклим.

Ні, закрите та обмежене зауваження посилається на компактність: визначення компактного набору є тим, що є і закритим, і обмеженим.

— всюдисущий

Правильно, вибачте, я неправильно прочитав розміщення значень "і".

Насправді цитований документ Glicksberg діє явно в контексті, коли характеристика компактності не відповідає дійсності --- у нормованому векторному просторі, закритому та обмеженому в нормі, припускає лише слабку * компактність.

— Майкл

@densep У грі, що відповідає грошам, доступні дії є дискретними, і тому гра має невипуклий простір стратегії, тому перша умова у наведеному вище твердженні не вдається.

— всюдисущий

Хоча компактність і опуклість все ще потрібні, наступне посилання стосується існування у векторно-космічних іграх з певними типами розривів.

Рені, П. (1999) "Про існування чистої та змішаної стратегії рівноваги Неша в розривних іграх", Економетрика 67, 1029-1056

— адамскі
джерело