Застосування / узагальнення теореми Дебре

Мені хотілося б знати, як остання теорема у праці Дебреу «Сусідні економічні агенти» (La Рішення 171 (1969): 85–90; перевидана у Г. Дебре, «Математична економіка: двадцять статей Джерарда Дебреу» (1986), стор. 173 -178) було використано:

Теорема. Для топологічного простору$M$ і метричний простір $H$, дозволяє $\varphi$ бути зібраним значенням із $M$ до $H$ що є компактним (тобто $\varphi(e)$ є компактним для кожного $e \in M$) і безперервний . Далі, для кожного$e \in M$ дозволяє $\lesssim_e$бути загальним попереднім замовленням на таким, що множина . Тоді встановлене значення відображення від до де$\varphi(e)$$\{(e, x, y) \in M \times H \times H : x \lesssim_e y\}$$\varphi^0$$M$$H$

$\varphi^0(e) = \{z \in \varphi(e) : x \lesssim_e z \ \ \mbox{for all} \ x \in \varphi(e)\}, \quad e \in M,$

є компактним і верхнім гемі-суцільним .

Зауважимо, що теорема виглядає аналогічно відомій максимальній теоремі Берже. До викладу теореми Дебреу пише, що спеціальні випадки її "неодноразово використовувалися в теорії економічної рівноваги та в теорії ігор", але не дає жодних посилань; в самому документі він використовується для доведення верхньої гемі-неперервності відповідності попиту на агента в обмінній економіці.

Мене особливо цікавить, чи були в цій теоремі недавно використання чи узагальнення, наприклад, для відображень, які не є компактними.

Запитання: Назвіть кілька хороших прикладів та / або посилань на застосування вищевказаної теореми? Чи було це узагальнено до відображень, які не мають компактну оцінку?

Цей результат справді є версією максимальної теореми Берже. Якщо є безперервна функція така, що якщо і лише якщо , результат можна отримати безпосередньо з максимальної теореми Берже. Якщо локально компактний, як це у випадку, якщо , то таку функцію завжди можна знайти, це випливає з теореми 1 у статті Мас-Коллела " Про постійне представлення передумов" (принаймні, якщо піддається метриці, я не впевнений в цьому. Більше про такі "спільно безперервні функції корисних функцій" можна знайти в главі 8 Представництва упорядкування уподобань$u:M\times H\to\mathbb{R}$$x\preceq_e z$$u(e,x)\leq u(e,z)$$H$$H=\mathbb{R}^n$$M$, 1995, Bridges & Mehta.

Зараз у Дебре не було такого результату, тому він працював з відносинами переваг і по суті спростовував максимальну теорему Берже (узагальнення математично прямо). Чому він це зробив? Щоб зрозуміти це, потрібно зрозуміти суть статті Дебреу, яка знаходить топологію щодо відносин уподобань, яка має ніокі властивості та робить економічну поведінку безперервною. Необхідність такого результату виходить з літератури про економіку з континуумом агентів.

Що означає, що континуум економіки агентів є межею послідовності кінцевих еономій? Одна з відповідей полягає в тому, що розподіл за характеристиками агентів сходиться до розподілу характеристик в економіці континууму, тому поняття конвергенції - це конвергенція в розподілі. Щоб зробити цю ідею функціональною, потрібно топологізувати характеристики агентів. Зараз агент характеризується своєю обдарованістю та своїми уподобаннями (а в більш загальних моделях - набором споживання). Існує природна топологія обкладинки, евклідова топологія, але топологізувати преференції менш просто, і саме це зробив Дебреу у своїй роботі. Експозицію такого підходу дистрибуції можна знайти в Hildenbrand 1974, Core та equilibria великої економіки .

Зараз є випадки, коли хотілося б застосувати теорему Берже для некомплектних множин варіантів вибору. Це може бути важливим при вивченні економіки з нескінченними розмірними товарними просторами, в яких закриті та обмежені не передбачають компактності. Один із способів вирішити цю проблему - знайти компактний набір, щоб відповідність була компактною і непустою, коли обмежується цим набором. Існує велика, дуже технічна література про "узагальнені ігри" або "абстрактні економіки" (в основному нормальніформатні ігри, в яких просторові стратегії залежать від дій інших), і вони, по суті, часто містять некомплектні узагальнення теореми Берже. Якщо ви можете взяти до рук книгу, перегляньте розділ 4 Xian-Zhi Yuan 1999, KKM Theory and Applications in nelinear Analysis. Однак моє враження полягає в тому, що ці результати виявилися не такими корисними в економічних сферах. Щоб довести існування вальрасівських рівноваг у моделях з нескінченними розмірними товарними просторами, зазвичай використовують різні методи.