Матриця переходу: дискретний -> безперервний час

8

У мене є код, що відповідає Таухену (1986) (еквівалент Python цього ), який генерує дискретний наближення процесу дискретного AR (1) дискретного часу.

Наприклад, якщо встановити розмір сітки як 3, це дає вектор продуктивності

[A_1, A_2, A_3,]

і матриця ймовірностей переходу

A_11, A_12, A_13
A_21, A_22, A_23
A_31, A_32, A_33

Там, де рядок i, стовпець jдає вам ймовірність переходу від iдо j, і він задовольняє, що сума кожного рядка приблизно одна.

Мені цікаво, як я можу перетворити це на безперервний часовий еквівалент перехідної матриці; набір вірогідностей пуассона, що контролюють швидкість потоку між станами.

Все, що я пам’ятаю в цьому плані, - це те, що ми можемо отримати лінійне наближення до ймовірностей Пуассона, використовуючи

P r o b (i \to j) = lim_{Δ \to 0} \exp (- λ_{i j} Δ) \approx 1 - λ_{i j} Δ

$Prob(i \to j) = \lim_{\Delta\to0} \exp(-\lambda_{ij}\Delta) \approx 1-\lambda_{ij}\Delta$

Але я не бачу, як це допомагає мені перетворити цю колишню матрицю на $\lambda$ s ... Я з нетерпінням чекаю будь-якої пропозиції.

computation stochastic-processes

— FooBar
джерело

6

Нехай - матриця швидкостей переходу Пуассона, де для позначає швидкість, з якою стан переходить у стан , а дає швидкість при якій стан переходить до всіх інших держав. Кожен рядок дорівнює 0. $B$ $n\times n$ $B_{ij}\geq 0$ $i\neq j$ $i$ $j$ $B_{ii}\leq 0$ $i$ $B$

Тоді, якщо позначає розподіл ймовірності в момент часу , за визначенням маємо ODE Ми знаємо, як виглядає рішення такого типу ODE: , де є матрицею експоненціальне з . Таким чином, якщо ми хочемо , щоб створити марковської матрицю переходу після , нам потрібно мати . $p(t)$ $t$ $B$

\dot{p} (t) = B p (t)

$\dot{p}(t) = Bp(t)$

p (t) = e^{B t} p (0)

$p(t)=e^{Bt}p(0)$

e^{B t}

$e^{Bt}$

B t

$Bt$

B

$B$

A

$A$

t = 1

$t=1$

e^{B} = A

$e^B=A$

В принципі, щоб отримати , ми повинні инвертировать матрицю експоненти, приймаючи матрицю логарифм від . Проблема полягає в тому, що кожна матриця має багато матричних логарифмів - логарифм в одновимірному складному просторі має нескінченно багато гілок, і це ускладнюється, коли ми говоримо про матриці в -вимірному просторі. Більшість цих логарифмів не будуть задовільними матрицями переходу Пуассона: можливо, вони не будуть справжніми, або записи не матимуть правильних знаків. Однак можливо, що їх буде більше: в деяких випадках є більше одного Пуассона відповідає Маркові , як і в деяких випадках немає Пуассона $B$ $A$ $n$ $B$ $A$ $B$ відповідна . Це безладно. $A$

На щастя, існує ситуація, коли життя відносно просте, і воно майже напевно включає власний випадок: коли всі власні значення є позитивними, чіткі результати $A$ . У цьому випадку існує лише один логарифм який буде реальним, і його легко обчислити: ви просто діагоналізуєте матрицю як і приймаєте реальний логарифм власних значень, отримуючи , де . У самому справі, вам не потрібно робити це самостійно: якщо ви використовуєте команду в Matlab (імовірно Python теж), це дасть вам саме це . $A$ $A=V\Sigma V^{-1}$ $B=V\Omega V^{-1}$ $\omega_{ii} = \log(\sigma_{ii})$ $\text{logm}(A)$ $B$

Враховуючи це , все, що вам потрібно зробити, - це переконатися, що це насправді матриця Пуассона. Перша вимога, що всі рядки дорівнюють нулю, виконується автоматично завдяки побудові ** Друга вимога, що діагональні елементи є від'ємними, а недіагональні позитивними, не завжди виконується (я думаю, що ), але вам це легко перевірити. $B$ $B$

Щоб побачити це в дії, я розгляну для процесу Маркова з 3 станом, який нагадує дискретний AR (1). Тепер, якщо я введіть у Matlab, я отримати Це дійсно дійсна матриця переходу Пуассона, оскільки ми можемо легко перевірити, що рядки дорівнюють нулю і мають правильні знаки - так це наша відповідь. $A$

A = (\begin{matrix} 0.5 & 0.4 & 0.1 \\ 0.2 & 0.6 & 0.2 \\ 0.1 & 0.4 & 0.5 \end{matrix})

$A = \begin{pmatrix}0.5 & 0.4 & 0.1 \\ 0.2 & 0.6 & 0.2 \\ 0.1 & 0.4 & 0.5\end{pmatrix}$

B = logm (A)

$B=\text{logm}(A)$

B = (\begin{matrix} - 0.86 & 0.80 & 0.06 \\ 0.40 & - 0.80 & 0.40 \\ 0.06 & 0.80 & - 0.86 \end{matrix})

$B = \begin{pmatrix}-0.86 & 0.80 & 0.06 \\ 0.40 & -0.80 & 0.40 \\ 0.06 & 0.80 & -0.86\end{pmatrix}$

Випадок із позитивними власними значеннями є досить важливим, оскільки він охоплює всі випадки, коли в ланцюгу Маркова немає якоїсь коливальної поведінки (яка вимагала б негативних чи складних власних значень), імовірно, включаючи ваші дискретні AR (1).

Загалом, команда у Matlab дасть нам головний матричний логарифм, аналог головного скалярного логарифму, який приймає всі власні значення, щоб мати уявну частину між та . Проблема полягає в тому, що це не обов'язково логарифм ми хочемо, і, дивлячись на нього , ми могли б пропустити Пуассон , який робить генерувати . (Ось чому випадок позитивного власного значення, коли нам не довелося про це турбуватися, був таким приємним.) Але все ж навіть у цих інших випадках не завадить спробувати перевірити, чи працює він. $\text{logm}$ $-\pi$ $\pi$ $B$ $A$

До речі, ця проблема щодо того, чи існує що генерує якусь марківську матрицю , була вивчена широко. Це називається проблемою вбудовування : див. Огляд та посилання в цій чудовій статті опитування від Davies . Я не є експертом з технічних аспектів проблеми; ця відповідь ґрунтується більше на моєму хакерському досвіді та інтуїції. $B$ $A$

Я відчуваю, що я зобов’язаний закрити, відправивши коментар ecksc і кажучи, що можуть бути кращі, більш прямі способи перетворення дискретно пристосованого AR (1) в процес постійного часу з кінцевим станом - а не просто взяття матриці, отриманої методом Таухена, і роблячи це безперервним. Але я особисто не знаю, що таке кращий спосіб!

** Пояснення (хоча я іржавий): має унікальне власне значення Perron-Frobenius 1, а оскільки стохастичний, правильним власним вектором цього власного значення є одиничний вектор . Це все-таки правильний власний вектор, тепер із власним значенням 0, коли ми беремо матричний логарифм. $A$ $A$ $e$

— номінально жорсткий
джерело

2

Не можу коментувати, або я б попросив детальніше спочатку. Якщо ви намагаєтеся перетворити (1) процес AR прилягає до дискретних часових рядах до безперервного процесу часу, я знайшов потрібний ресурс тут на сторінці 4.

Розрахунки передбачені для оцінки коефіцієнтів процесу CAR (2) від процесу AR (2), але, звичайно, ви можете замінити 0 на другий коефіцієнт, щоб отримати конверсію.

Якщо ви намагаєтеся перетворити дискретний ланцюг Маркова в безперервний час, це буде складніше, і мені доведеться ще трохи прочитати, перш ніж я можу надати більше допомоги. :) Тим часом, ось кілька хороших матеріалів для читання, які я знайшов щодо безперервного часу Ланцюги Маркова.

— ecksc
джерело