Моделювання реального ділового циклу

В основному мені потрібно повторити "Посібник користувача щодо вирішення реальних моделей ділового циклу" ( http://www.econ.ucdavis.edu/facturing/kdsalyer/LECTURES/Ecn235a/Linearization/ugfinal.pdf ). Зокрема, я хочу імітувати динамічну систему, що має на увазі модель, яка вказана наступним чином:

де - споживання, - пропозиція робочої сили, - капітал, - авторегресивний технологічний процес, - вихід, а - інвестиції.h k z y $c$$h$$k$$z$$y$$i$

Я моделюю його за допомогою такої логіки: скажімо, в момент часу все знаходиться в стаціонарному стані, і всі значення дорівнюють 0, від чого у нас . Потім, при , подаючи удар по системі через , я вирішую для і (як у мене "шокований" і раніше отриманий Потім я підключаю ці два, щоб отримати решту, а саме - і повторюю процес.k t + 1 t + 1 ε c t + 1 h t + 1 z t + 1 k t + 1 y t + 1 , i t + 1 , k t + $t$$k_{t+1}$$t+1$$\varepsilon$$c_{t+1}$$h_{t+1}$$z_{t+1}$$k_{t+1}$$y_{t+1}, i_{t+1}, k_{t+2}$

На жаль, у мене виникає вибухонебезпечний процес, який не має сенсу:

Я також включаю код R, який використовується для моделювання цього:

n<-300

data.simulated <- data.table(t = 0, zval = 0, cval = 0, hval = 0, kval = 0, yval = 0, ival = 0)
data.simulated <- rbind(data.simulated, data.table(t = 1, kval = 0), fill = TRUE)

for (ii in 1:n){

  ##initial shocks
  eps <- rnorm(1, mean = 0, sd = 0.007)
  zt1 <- data.simulated[t == ii - 1, zval]*0.95 + eps
  kt1 <- data.simulated[t == ii, kval]

  ##solve for ct, ht
  lmat <- matrix(c(1, -0.54, 2.78, 1), byrow = T, ncol = 2)
  rmat <- matrix(c(0.02 * kt1 + 0.44 * zt1, kt1 + 2.78 * zt1), ncol = 1)

  solution <- solve(lmat, rmat)
  ct1 <- solution[1, ]
  ht1 <- solution[2, ]

  ##now solve for yt1 and kt2 and it1
  yt1 <- zt1 + 0.36 * kt1 + 0.64 * ht1
  kt2 <- -0.07 * ct1 + 1.01 * kt1 + 0.06 * ht1 + 0.1 * zt1
  it1 <- 3.92 * yt1 - 2.92 * ct1

  ##add to the data.table the results
  data.simulated[t == ii, c("zval", "cval", "hval", "yval", "ival") := list(zt1, ct1, ht1, yt1, it1)]
  data.simulated <- rbind(data.simulated, data.table(t = ii + 1, kval = kt2), fill = TRUE)
}


a <- data.simulated[, list(t, cval, ival, yval)]
a <- data.table:::melt.data.table(a, id.vars = "t")
ggplot(data = a, aes(x = t, y = value, col = variable)) + geom_line()

Моє запитання просте - чи вказана в роботі система нестабільна і є результатами, чи я десь помилився?

Вибухонебезпечність

У статті міститься помилка, яка спричинює вибухову динаміку у вашому моделюванні (хоча, мабуть, основні обчислення в роботі були правильними). Умова рівноваги, отримане в результаті розкладання власного значення, міститься в третьому рядку матриці на сторінці 12 статті зі змінними, упорядкованими як (я відкину тильди, тому всі Малі величини слід розуміти як відхилення журналу). Порівняння з рівнем. (16) на с. 13, ми бачимо, що коефіцієнти для і перемикаються, і тому правильна умова$Q^{-1}$$(c,k,h,z)$$k$$h$

$$c_t = 0.54 k_t + 0.02 h_t + 0.44 z_t$$

Моделювання

По-перше, ми можемо виразити споживання та працю як лінійну функцію змінних стану (не потрібно вирішувати систему на кожному кроці моделювання). Умови міжтемпоральної та внутрішньотемпоральної рівноваги можна записати як

$$\begin{bmatrix}1 & -0.02 \\ 2.78 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_t \\ h_t\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.54 & 0.44 \\ 1 & 2.78 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_t \\ z_t\end{bmatrix}$$

тому після множення на обернену отримуємо

$$\begin{bmatrix} c_t \\ h_t\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.53 & 0.47 \\ -0.47 & 1.47 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_t \\ z_t\end{bmatrix}$$

Далі перехід для станів можна записати як

$$\begin{bmatrix} k_{t+1} \\ z_{t+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.07 & 0.06 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_t \\ h_t\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1.01 & 0.1 \\ 0 & 0.95 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_t \\ z_t\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \epsilon_{t+1}\end{bmatrix}$$

який можна зменшити, замінивши контрольні змінні на

$$\begin{bmatrix} k_{t+1} \\ z_{t+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.94 & 0.16 \\ 0 & 0.95 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_t \\ z_t\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \epsilon_{t+1}\end{bmatrix}$$

Тепер моделювання має бути тривіальним, ось приклад Matlab / Octave:

T = 200;
X = zeros(2,T);
for i=2:T
    X(:,i) = [0.94 0.16; 0 0.95] * X(:,i-1) + [0; 0.007*randn()];
end
Y = [0.53 0.47; -0.47 1.47] * X;
figure
plot(1:T, [X; Y])
legend('k','z','c','h')

Звичайно, на практиці вам, мабуть, слід перерахувати ціле рішення, включаючи розклад власного значення, щоб ви могли змінювати параметри тощо.

Підсумкові НОВИНИ 20 березня 2015 року : я надіслав електронною поштою проф. К. Солєр, один з авторів Посібника користувача. У повторному повідомленні він підтвердив, що обидва питання (див. Мою відповідь нижче, а також відповідь @ivansml) існують:

а) Правильне рівняння для закону руху споживання таке, як показує @ivansml

б) Число буде помилково називають «дисперсією» (стор. 11) у статті. Насправді це стандартне відхилення , і дійсно така величина є типовою знахідкою в даних (проф. Солєр посилається на "стор. 22, формулу 1 Кулі та Прескотта" Межі досліджень ділового циклу ").$0.007$

Обидві помилки стосуються друкованої версії статті. Іншими словами, симуляції за рисунком 1 статті є правильними: вони використовують правильне рівняння для споживання, а вони використовують як стандартне відхилення порушення в технологічному процесі. Отже, другий графік нижче, що він дійсний.$0.007$

---

ФАЗА A
Я симулятором (і використовуючи правильне стандартне відхилення) я перевірив, що модель вибухає, хоча це робить вгору, а не вниз. У роботі повинна бути помилка обчислення, яка все-таки якось не була "передана" моделюванням авторів. На даний момент я не можу придумати нічого іншого, оскільки методика є стандартною. Я заінтригований і тому все ще працюю над цим.

ФАЗА B
Після відповіді @ ivansml, яка виявила помилку в роботі (що, мабуть, не було зроблено в моделюваннях авторів) , я думаю, я виявив другу помилку, на цей раз у моделюваннях : і це пов'язано з тим, чи - це стандартне відхилення або значення дисперсії. $0.007$

Конкретно: Використовуючи виправлену систему рівнянь та випадкове порушення (тобто, як написано в роботі ), я отримую наступний графік останнього 120 реалізацій всього 3000: $\epsilon_i \sim N(0, \sigma^2 = 0.007), \implies SD = 0.0837$

Зауважте значення на вертикальній осі: вони набагато перевищують діапазон значень, який відображається на рисунку 1 у статті авторів.

Але якщо я породжую порушення відповідно до , то я отримую $\epsilon_i \sim N(0, \sigma^2 = 0.00049), \implies SD = 0.007$

Тепер діапазон значень збігається з тими, що з’являються на графіку статті. Можливо, правильна варіація становить і автори її неправильно використали як StDev. Але також може бути правильна дисперсія а правильна SD - . Тож моделювання було правильним (відповідно до отриманої оцінки), але помилково вони назвали у статті "Варіантність" те, що повинно називатися "Стандартне відхилення".0,000049 $0.007$$0.000049$$0.007$

Я спробую зв’язатися з авторами з цих двох питань.