Перевага перед лотереями без аксіоми незалежності

Припустимо , що безліч результатів можуть бути ранжовані в наступному порядку: . Крім того, припустимо, хто приймає рішення має перевагу над лотереями над цими результатами. Припустимо, що перевага перед лотереями раціональна, безперервна, але не обов'язково відповідає аксіомі незалежності .$N$$1\succ 2\succsim\cdots\succsim N$

Звідси випливає, що найкраща лотерея в цьому випадку - вироджена лотерея $(1,0,\dots,0)$ ?

Що робити, якщо аксіома незалежності буде порушена ?

Ні, не обов’язково. Без аксіоми незалежності (або чогось іншого, що її замінить) не так багато можна зробити висновок про преференції щодо (не вироджених) лотерей, не знаючи преференцій лише над результатами.

Наприклад, нехай - ймовірність результатів . Тоді налаштування над лотереями представлені функцією корисності$p^L_n$$n \in \{1, 2, 3\}$$\succeq^*$

$$U(L) = p^L_1 + \beta [p^L_2p^L_3],$$

є безперервними та раціональними, але не задовольняють аксіому незалежності. Для досить великої, навіть не так, що є найкращою лотереєю, хоча і .$\beta$$(1,0,0)$$(1,0,0) \succ^* (0,1,0)$$(1,0,0) \succ^* (0,0,1)$

Щоб зрозуміти чому, дотримуйтесь цього

$$U(1,0,0) = 1,$$ $$U(0,1,0) = 0,$$ $$U(0,0,1) = 0,$$

Однак для ,$\beta > 4$

$$U\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) > 1 .$$

Порушення аксіоми незалежності можна побачити з того факту, що при ,$\beta > 4$

$$[1,0,0] \succ [0,1,0] ,$$

хоча

$$\left[0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right] \succ \left[ \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right].$$