Якими властивостями повинна володіти утиліта, щоб ми могли визначити набори рівнів і, таким чином, криві байдужості?

4

Я запитав у Math SE трохи про набори рівнів тут .

На основі того, що я дізнався, схоже, що ми зазвичай припускаємо набір рівня а його функція визначена в має такі властивості: $L(f)$ $f$ $\Bbb{R}^n$

$f$ неперервна
Таким чином, криві у встановленому рівні є кривими кривими. (не впевнений, чому)
Всі закриті криві "сходяться" до точки. (не впевнений, чому)
Ця точка буде максимумом для функції: похідна в точці буде дорівнює нулю, оскільки якби не вона, то точка була б 1-множником, що абсурдно.
$\nabla f \neq 0$ на решті точок

Я не розумію, як ми знаємо, що відношення уподобань у споживчому пакеті має представлення функції утиліти, таким чином, щоб ці властивості мали місце. За словами мого професора, ми використовуємо набори рівнів для опису кривих байдужості.

Отже, якщо криві байдужості описуються набором рівнів, цей набір рівня повинен мати властивості, перелічені вище. Зауважимо, для економіки ми розглядаємо функцію , де , і рівень, встановлений . Також зверніть увагу на . $U(\mathbf{x})$ $\mathbf{x}=(x_1,...,x_n)$ $L(U)$ $U: \Bbb{R}^n\rightarrow \Bbb{R}$

Моє запитання:

В економічному плані, яке припущення ми маємо зробити для того, щоб , мали ці властивості для створення набору рівнів, використовуваних для кривих байдужості? $U$ $L(U)$

В ідеалі було б чудово перелічити перелік припущень (тобто 1,2,3).

consumer-theory

— Стен Шунпік
джерело

1

Подивіться, скористайтеся раціональним уподобанням визначеним на X, X деякій метриці (припустимо, це метричний простір). Припустимо також, що X є роздільним (наприклад, задовольняє цим умовам, але є більш загальним). Тепер нехай буде (i) раціональним (повним, перехідним), (ii) безперервним (це означає, що якщо , і , то $\succeq$ $\mathbb{R}^n$ $\succeq$ $x^n\rightarrow x$ $y^n\rightarrow y$ $x^n \succeq y^n$ $\forall n$ $x \succeq y$ . За цим припущенням, то це може бути представлено функцією безперервної корисності. 1. u є безперервним вищевказаним умовам. 2. Криві у встановленому рівні закриті. З цього випливає той факт, що відношення байдужості є замкнутим набором і безперервним представленням корисності: приймаємо за безперервністю переваг , тепер це означає, що - послідовність на кривій рівня для фіксованого y і вище $x^n \sim y\quad \forall n$ $x \sim y$ $u(x^n)$ $u(x^n)=u(y)$ $u(x)\rightarrow u(y)$ таким чином робить його закритим. Інші властивості глибші в тому сенсі, що потрібно більше припущень, наприклад, щоб градієнт u він повинен бути диференційованим, унікальність екстремуму потребує певної випуклості кривих рівнів тощо.

— користувач157623
джерело

1

Набори рівнів завжди чітко визначені. Ніяких властивостей корисних функцій не слід вважати. Для будь-якого рівня корисності просто визначте рівень, встановлений на . Не слід вважати властивістьЦе добре визначений незалежно від властивостей . Властивості корисні, якщо хочеться отримати певні властивості наборів рівнів, але вони не потрібні для їх визначення. $\bar u$ $\{x\in \mathbb{R}^n|U(x)=\bar u\}$ $U$ $U$ $U$

— TMB
джерело

Що робити, якщо ми не використовуємо ? Або це завжди передбачається?

R^{n}

$\Bbb{R}^n$

— Стен Шунпік

Вже тоді вищевикладене визначення повинно бути нормальним. Просто замініть у наведеному вище визначенні будь-яким набором з якого вибирає агент.

R^{n}

$\mathbb{R}^n$

X

$X$

— TMB

1

Як зазначає TMB, рівні набори точок, в яких досягається однакова корисність ( ). Вони майже нічого не залежать, окрім того, що ансамбль має відношення до рівності - не так багато, щоб запитати по-справжньому. $\{x\in \mathbb{R}^n|U(x)=\bar u\}$

1 і 2. Криві визначаються як а закрита, тому антесдент безперервною функцією теж закритий. $f^{-1} (\bar u)$ $\{\bar u\}$ $\{\bar u\}$

3,4 і 5 звучать як глупота для мене, можливо, ви можете дати нам посилання вашого курсу або курсу, судячи з того самого припущення? Як визначити максимум у ? $\Bbb{R}^n$

— VicAche
джерело