Для якої функції попиту монополія найбільш шкідлива?

Розглянемо фірму з нульовою граничною вартістю. Якщо він дає товар безкоштовно, то весь попит задовольняється, а соціальний добробут збільшується на максимально можливу суму; називаємо це збільшення .$W$

Але оскільки фірма є монополістом, вона зменшує попит і збільшує ціну з метою оптимізації своїх доходів. Тепер збільшення соціального забезпечення на меншу суму, скажімо, .$V$

Визначити відносну втрату добробуту (безповоротні втрати) в вигляді : . Це співвідношення залежить від форми функції попиту. Отже, моє запитання: чи обмежене це співвідношення, чи воно може бути довільно великим? Зокрема:$W/V$

• Якщо обмежена, то для якої функції попиту вона максимально використана?$W/V$
• Якщо ж не обмежений, то для яких функцій сімейства попиту він може стати довільно великим?$W/V$

Ось що я спробував поки що. Нехай - гранична корисна функція споживачів (що також є функцією зворотного попиту). Припустимо, що вона кінцева, гладка, монотонно зменшується і масштабується до області . Нехай є його антивиробничою. Тоді:$u(x)$$x\in[0,1]$$U(x)$

• $W = U(1)-U(0)$ , загальна площа під .$u$
• $V = U(x_m)-U(0)$ , де - сума, вироблена монополією. Це ділянка під за винятком частини «втрати ваги».$x_m$$u$
• $x_m = \arg \max (x \cdot u(x))$ = кількість, яка максимально збільшує дохід виробника (позначений прямокутник).
• $x_m$ зазвичай можна обчислити, використовуючи умову першого порядку: .$u(x_m) = -x_m u'(x_m)$

Щоб отримати певне відчуття того, як поводиться , я спробував деякі сімейства функцій.$W/V$

Нехай , де - параметр. Тоді:$u(x)=(1-x)^{t-1}$$t>1$

• $U(x)=-(1-x)^{t}/t$ .
• Умова першого порядку дає: .$x_m=1/t$
• $W=U(1)-U(0) = 1/t$
• $V=U(x_m)-U(0)=(1-(\frac{t-1}{t})^{t})/t$
• $W/V=1/[1-(\frac{t-1}{t})^{t}]$

Коли , , тож для цієї родини обмежений.$t\to\infty$$W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$$W/V$

Але що відбувається з іншими сім'ями? Ось ще один приклад:

Нехай , де - параметр. Тоді:$u(x)=e^{-t x}$$t>0$

• $U(x)=-e^{-t x}/t$ .
• Умова першого порядку дає: .$x_m=1/t$
• $W=U(1)-U(0) = (1-e^{-t})/t$
• $V=U(x_m)-U(0)=(1-e^{-1})/t$
• $W/V=(1-e^{-t})/(1-e^{-1})$

Коли , знову , тому тут знову обмежена.$t\to\infty$$W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$$W/V$

І третій приклад, який мені довелося вирішити чисельно:

Нехай , де - параметр. Тоді:$u(x)=\ln(a-x)$$a>2$

• $U(x)=-(a-x)log(a-x)-x$ .
• Умова першого порядку дає: . Використовуючи цей графік десмо , я виявив, що . Звичайно, це рішення справедливе лише тоді, коли ; в іншому випадку ми отримуємо і втрат у немає.$x_m=(a-x_m)\ln(a-x_m)$$x_m \approx 0.55(a-1)$$0.55(a-1)\leq 1$$x_m=1$
• Використовуючи той самий графік, я виявив, що зменшується з , тому його величина супрему становить коли , і це приблизно 1,3.$W/V$$a$$a=2$

Чи є ще одне сімейство кінцевих функцій, для яких може зростати нескінченно?$W/V$

Довільно велике співвідношення має відбуватися з кривою попиту

$P=\begin{cases} \frac{1}{Q} & \text{if } Q>1 \\ 2-Q & \text{if } Q\leq 1 \\ \end{cases}$ .

Монополістичні ціни при , але надлишок споживачів, якщо нескінченний, оскільки площа під кривою попиту містить .$P=1$$P=0$$\int_1^\infty \frac{1}{Q}dQ=\infty$