Що таке замінник / доповнення з точки зору змішаних часткових похідних?

10

Я намагаюся зрозуміти, як замінюваність стосується змішаних часткових похідних. Я вважав, що зміна граничної корисності стосовно зміни величини відповідатиме тому я заплутався, коли сприймаю частку цього відносно . Чи вимірює цей показник показник MU wrt коли ми змінюємо ? Як це пов’язано з тим, щоб бути замінником? $x$

\frac{\partial U}{\partial x}

$\frac{\partial U}{\partial x}$

y

$y$

x

$x$

y

$y$

microeconomics

— Стен Шунпік
джерело

Якщо ми почнемо з основ: Якщо доповнює то . Правильно?

y

$y$

x

$x$

\frac{d y_{d}}{d p_{x}} < 0

$\frac{dy_d}{dp_x} < 0$

— снорам

13

Тут дуже важливо зауважити, що існує декілька, взаємно непослідовні можливості, як визначити заміну / доповнення.

Один із способів - сказати, що і є доповненнями, якщо збільшення збільшує граничну корисність (або, враховуючи симетрію змішаних частин, навпаки): Це пропозиція у відповіді foobar. $x$ $y$ $y$ $x$

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial^{2} U}{\partial x \partial y} > 0 \end{matrix}

$\frac{\partial^2 U}{\partial x\partial y}>0\tag{1}$

Інший спосіб полягає в тому, щоб сказати, що і є доповненнями, якщо зниження ціни на породжує гіксьянський (він же компенсований) попит на . Так як Хікса попит є похідною функції витрат (інакше витрат) з допомогою леми Шепарда , це також може бути виражено як умова про змішаних парціальних: Це пропозиція в коментарі snoram, і це поняття частіше викладається в мікрокласах. $x$ $y$ $y$ $x$

\begin{matrix} (2) & \frac{\partial^{2} C}{\partial p_{x} \partial p_{y}} < 0 \end{matrix}

$\frac{\partial^2 C}{\partial p_x\partial p_y}<0\tag{2}$

Ці визначення не рівнозначні! Дійсно, у будь-якому випадку лише з двома товарами ці два товари повинні бути замінниками згідно (2), незалежно від того, позитивна чи ні перехресна частка в (1). $U$

Цим поняттям можна дати плідні позначення (хоча ці етикетки частіше зустрічаються у випадку виробничих, а не корисних функцій). Після Hicks, ми можемо назвати компліменти за визначенням (1) Q-доповнення : якщо і є Q-комплементи, збільшення кількості від призводить до збільшення граничної величини . Тим часом, ми можемо назвати компліменти за визначенням (2) р-комплементи : якщо і є р-комплементи, зниження цін на призводить до збільшення попиту на . Дивіться, наприклад, $x$ $y$ $y$ $x$ $x$ $y$ $y$ $x$ Seidman (1989) для короткого огляду.

Обидві концепції корисні в різних ситуаціях - це залежить від того, що вас цікавить!

Більш технічна примітка: ви можете помітити, що (1) і (2) не здаються дуже схожими один на одного: (2) - це компенсована концепція, що тримає нас на одній кривій байдужості, тоді як (1) - ні. Це обгрунтована критика, і справді існує альтернативне поняття «q-доповнення», яке компенсується, і поняття «p-доповнення», яке не є.

Компенсоване поняття q-доповнення, яке, мабуть, є більш актуальним для більшості застосувань теорії споживачів, ніж (1), запитує, чи збільшується граничне повернення до міру збільшення , залишаючись на тій же кривій байдужості. (Це більш актуально для теорії споживачів, оскільки це не залежить від суттєво неоднозначної кардинальності Дійсно, очевидно, Хікс ввів це як визначення теорії споживачів "q-доповнення" у своїй ревізії теорії попиту 1956 року. $x$ $y$ $U$ , хоч я сам не маю його копії.) Це поняття також має змішану часткову характеристику, з точки зору чогось, що називається дистанційною функцією, яка є класним інструментом мікро-теорії, якого ніхто більше не вивчає; матриця змішаних частин функції відстані називається матрицею Антонеллі, і вона є узагальненою інверсією улюбленої матриці Слуцького.

Якщо ми хотіли подумати про інші версії p-доповнень, є кілька варіантів. Один із способів - утримувати постійний дохід і сказати, що і є взаємодоповнюючими, якщо зниження ціни на збільшує маршалський попит на . Це дійсне поняття (воно називається "валова" взаємодоповнюваність, а не "чиста"), але це не дуже приємно, оскільки воно не симетричне (через ефекти від доходу) і, отже, не має змішаної часткової характеристики. $x$ $y$ $y$ $x$

Інший, приємніший спосіб - утримати граничну корисність багатства постійною (це називається "фріш" попитом, і це аналог споживчої теорії максимізації прибутку, який утримує постійну ціну випуску), а потім запитати, чи зменшення ціни призводить до збільшення попиту на . Це залежить від записів у зворотній матриці Гессія змішаних частин , виявляючи зворотний зв'язок з (1) (що залежить від самої матриці Гессі), який паралельний зворотному співвідношенню, зазначеному вище між матрицями Антонеллі та Слуцького. $y$ $x$ $U$

— номінально жорсткий
джерело

Чи можете ви пояснити, чому з рівняння 2 випливає, що вони повинні бути замінниками?

— Стен Шунпік

нерівність (2) означає, що вони є доповненнями в сенсі "р-доповнення", тому що ми можемо записати , де - попит Хіксія на (а третя рівність випливає з лемми Шепарда). Це та частина, яка була неоднозначною?

\frac{\partial^{2} C}{\partial p_{x} \partial p_{y}} = \frac{\partial (\partial C / \partial p_{x})}{\partial p_{y}} = \frac{\partial h_{x}}{\partial p_{y}}

$\frac{\partial^2 C}{\partial p_x \partial p_y} = \frac{\partial(\partial C / \partial p_x)}{\partial p_y} = \frac{\partial h_x}{\partial p_y}$

h_{x}

$h_x$

x

$x$

— номінально жорсткий

Так, але це дало зрозуміти. Ще раз дякую за ще одну приголомшливу відповідь.

— Стен Шунпік

4

Подумайте про два товари, які повинні бути незалежними. Скажіть, взуття та комп’ютерні ігри. $x =$ $y =$

Доповнення передбачають взаємодоповнюваність: Ви можете насолоджуватися більше, коли у вас більше . Звідси позитивна поперечна похідна. $y$ $x$

Один із способів виразити фразу, яка є з нероздільною корисністю: . Альтернативою є те, що ви вказали: На межі наявності дозволяє вам насолоджуватися більше. $U(x, 0) + U(0, y) < U(x,y)$ $x$ $y$

З нашим взуттям та комп’ютерними іграми, безумовно, похідна крос становить 0. Що стосується морозива та ложок, це, швидше за все, є позитивним: наявність ложки збільшує граничну вигоду, яку ви отримуєте від морозива, отже, і позитивна перехресна кореляція.

Нарешті, подумайте про шоколад та морозиво. Можна стверджувати, що вони працюють як замінники (подумайте, наприклад, про пустелю): Ви хочете того чи іншого. Якщо ви отримаєте їх безкоштовно , точно, це не завадить мати їх обох. Але якщо вам доведеться платити справедливі ціни, ви вважаєте за краще платити ціну за один із варіантів і дотримуйтесь цього.

— FooBar
джерело

А як щодо питання "симетрії" змішаних партій? Чи справедливо це для прикладів, які ви подали? Це має значення? Під симетрією я маю на увазі .

U_{x y} = U_{y x}

$U_{xy} = U_{yx}$

— Стен Шунпік