Як можна отримати еластичність заміщення?

Для двох товарів і пружність заміщення визначається як $x$ $y$

σ \equiv \frac{г журнал (\frac{у}{х})}{г журнал (\frac{U_{х}}{U_{у}})} = \frac{\frac{г (\frac{у}{х})}{\frac{у}{х}}}{\frac{г (\frac{U_{х}}{U_{у}})}{\frac{U_{х}}{U_{у}}}}

$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{\frac{d\left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{y}{x}}}{ \frac{d\left(\frac{U_x}{U_y}\right)}{\frac{U_x}{U_y}}}$

Мене бентежать дві речі:

Чому ми просто пишемо ? Що ми відрізняємо стосовно? $d\log\left(\frac{y}{x}\right)$
Як я можу використовувати це, щоб показати вищезазначене відношення?

Може хтось пояснить?

elasticity

— Стен Шунпік
джерело

Як отримати еластичність заміщення

Перший крок - пригадати визначення диференціала. Якщо у вас є функція , скажімо, , тоді: $f: \Bbb R^n \to \Bbb R$ $f(x_1,\cdots,x_n)$

г f = \frac{\partial f}{\partial х_{1}} г х_{1} + \dots + \frac{\partial f}{\partial х_{н}} г х_{н} .

${\rm d}f = \frac{\partial f}{\partial x_1}{\rm d}x_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}\,{\rm d}x_n.$

Наприклад,

г журнал v = \frac{1}{v} г v

$d\log v = \frac{1}{v}dv$

Тепер припустимо, що , то маємо $v = \tfrac{y}{x}$

г журнал (у / х) = \frac{г (у / х)}{(у / х)}

$d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}$

а для $v = \tfrac{U_x}{U_y}$

г журнал (U_{х} / U_{у}) = \frac{г (U_{х} / U_{у})}{(U_{х} / U_{у})}

$d\log(U_x/U_y)=\frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)}$

Іншими словами, якщо ви зведете задачу до (1) розуміння визначення диференціала та (2) використовуєте просту зміну змінної , проблема стає дуже однозначною.

Ви тоді отримаєте

σ \equiv \frac{г журнал (\frac{у}{х})}{г журнал (\frac{U_{х}}{U_{у}})} = \frac{\frac{г (у / х)}{(у / х)}}{\frac{г (U_{х} / U_{у})}{(U_{х} / U_{у})}}

$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{ \frac{d(y/x)}{(y/x)} }{ \frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)} }$

ВІД:

$d(y/x)$

г (у / х) = \frac{х г у - у г х}{х^{2}}

$d(y/x)= \frac{xdy-ydx}{x^2}$

Це має сенс, оскільки

г журнал (у / х) = г журнал (у) - г журнал (х) = \frac{г у}{у} - \frac{г х}{х}

$d\log(y/x) = d\log(y) - d\log(x) = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$

А якщо обчислити

г журнал (у / х) = \frac{г (у / х)}{(у / х)} = \frac{\frac{х г у - у г х}{х^{2}}}{у / х} = \frac{х г у - у г х}{х у} = \frac{г у}{у} - \frac{г х}{х}

$d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}=\frac{ \frac{xdy-ydx}{x^2}}{y/x} = \frac{xdy-ydx}{xy} = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$

$d(U_x/U_y)$

$\sigma$

Що таке еластичність заміщення?

$MRS$

— Стен Шунпік
джерело