Модель ARCH - очікування абсолютного значення

У мене є модель часових рядів:

$$y_t = \sigma_t \epsilon_t$$

$$\sigma_t = w + \gamma|y_{t-1}|$$

Там, де як правило, розподілено із середнім нулем та дисперсією. Припустимо, t = 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3 , … і що процес y t слабкий і сильно нерухомий.$\epsilon_t$$0, ±1, ±2, ±3, \ldots$$y_t$

а) Які обмеження щодо параметрів w і здаються чутливими?$\gamma$

б) Обчисліть припускаючи, що ця величина є кінцевою, зазначаючи, що E | ϵ t - 1 | = $E|y_t|$$E|\epsilon_{t-1}| = \sqrt{\frac{2}{\pi}}$

(в) Пишіть як процес AR (1) і, отже, обчислюють функцію автокореляції абсолютних повернень: p j = c o v ( | y t | , | y t - j |$|y_t|$

$$p_j = \frac{cov(|y_t|, |y_{t-j}|)}{cov(|y_t|, |y_{0}|)}$$

---

$\gamma \in [0, 1)$

$$E|y_t| = E[|\sigma_t \epsilon_t|] = E[|\sigma_t| |\epsilon_t|]$$ $$\text{as they are independent:}$$ $$= E[|\sigma_t|] E[|\epsilon_t|] = E[|w + \gamma|y_{t-1}||]\sqrt{\frac{2}{\pi}}$$ $$\text{as we assumed w and $\gamma$ are positive:}$$ $$= E[w + \gamma|y_{t-1}|]\sqrt{\frac{2}{\pi}} = \{w + \gamma E[|y_{t-1}|]\}\sqrt{\frac{2}{\pi}}$$ $$\text{as we have a weakly stationary series:}$$ $$E|y_t| = \{w + \gamma E[|y_{t}|]\}\sqrt{\frac{2}{\pi}} \implies E|y_t| = \frac{w\sqrt{\frac{2}{\pi}}}{1 - \gamma \sqrt{\frac{2}{\pi}}}$$

Це правильно чи я зробив якусь хокус?

Для (с) я застряг:

$|y_t| = \{w + \gamma |y_{t-1}|\}|\epsilon_t|$

Будь-яка допомога дуже цінується. Я не надто знайомий з моделями ARCH / GARCH.

$w>0$$\sigma_0 \geq 0$$w\geq 0$

$\gamma > 1$$\sigma$$w + \gamma \cdot \sigma_{t-1} >0$$w + \gamma \cdot \sigma_{t-1} <0$