Чи повинні досконалі доповнення бути нормальними товарами? Якщо так, то чому?

Два товари $ x, y $ є досконалими доповненнями, якщо вони мають функцію корисності $$ U (x, y) = хв, що лежить, за rbrace $$ $$ a, b в Bbb {Q} ^ + $$ Мій професор сказав, що $ x, y $ повинен бути нормальним товаром, але не пояснив, чому досить добре, що я міг зрозуміти.

Моє запитання:

Чи ідеально доповнюють завжди нормальний товар? Якщо так, то чому?

Добре нормальний якщо її попит збільшується в доходах. Отже, нехай $ p_x $ і $ p_y $ - ціна товару з величинами $ x $ і $ y $ і $ m $ - доходом.

Припустимо, що $ ax & gt; Тоді $ min (ax, by = = $. Злегка зменшивши $ x $ і витративши заощаджені гроші на $ y $, можна отримати кращий пакет. Для оптимального розшарування це не може бути.

Аналогічно, не може бути оптимальним, що $ by & gt; ax $. Отже, в оптимальному розшаруванні споживання має бути те, що $ ax = по $. Не так вже й важко бачити, що споживач витратить весь свій дохід. Так переписати умову як $$ y = frac {a} {b} x $$ та підключіть його до рівняння бюджету $$ p_x x + p_y y = m $$ $$ p_x x + p_y frac {a} {b} x = m = x Великий (p_x + p_y frac {a} {b} Великий). Отже, ми отримуємо функцію попиту, задану $$ x (p_x, p_y, m) = frac {m} {p_x + p_y frac {a} {b}}, $$ явно зростає в $ m $. Подібним чином, один показує, що інше добро теж нормальне.

Педантичне зауваження: Диференційована функція може збільшуватися в кожній точці без повної позитивної похідності. Функція, задана $ x xa 3 x 3, має похідну $ 0 $ при $ 0 $, але повсюдно зростає.