Упередженість OLS в оцінці попиту: ухили завжди занижують еластичність попиту?

10

Деякі документи стверджують, що OLS може виробляти менші упередження, ніж оцінка IV, залежно від якості ваших інструментів. Припустимо, ми розглянемо рівняння оцінки попиту.

Припустимо, еластичність попиту в OLS негативна. На мою інтуїцію, слабкі інструменти повинні давати необ’єктивні оцінки щодо OLS, але не менш негативні. Ви можете навести приклад? Я не можу реально зрозуміти, як це може призвести до більш упередженої оцінки з IV оцінкою.

econometrics

— Джон До
джерело

IV є упередженим, але послідовним, тому я думаю, що ваше твердження є правдивим. але я думаю, все залежить від ваших цілей. передбачення проти умовиводу.

— користувач157623

Які "статті" (бажано, добре відомі, або освітлений тип огляду), на які ви посилаєтесь у своєму першому реченні? Мені цікаво подивитися на них. Дякую.

— Кім Чен Ун

8

$\hat{\beta_1^{IV}} = \beta_1 + \frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}$

$\left[\frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}\right]$

\begin{array}{rcl} v a r (\hat{β_{1}}) & \to_{p} & \frac{σ^{2}}{n σ_{x}^{2}} \\ \hat{β_{1}^{I V}} & = & \frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) y_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}} = β_{1} + \frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) u_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}} & = & v a r (\frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) u_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}}) \\ v a r (u | z) & = & σ^{2} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & = & \frac{σ^{2} \frac{1}{n} \sum (z_{i} - \bar{z})}{n [\frac{1}{n} \sum (z_{i} - \bar{z}) (x_{i} - \bar{x})]^{2}} \end{array}

$\begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1}) &\to_p& \frac{\sigma^2}{n \sigma^2_x} \nonumber \\ \hat{\beta_1^{IV}} &=& \frac{\sum (z_i - \bar{z})y_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} = \beta_1 + \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \nonumber \\ var(\hat{\beta_1^{IV}} &=& var \left( \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \right) \nonumber\\ var(u | z) &=& \sigma^2 \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &=& \frac{\sigma^2 \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})}{n[ \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})(x_i - \bar{x})]^2} \nonumber \end{eqnarray}$

$n \to \inf$

\begin{array}{rcl} v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & \to_{p} & \frac{σ^{2} σ_{z}^{2}}{σ_{z x}^{2}} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & \to_{p} & σ^{2} \frac{1}{n σ_{x}^{2}} \frac{1}{ρ_{x z}^{2}} \\ ρ_{x z}^{2} & = & \frac{[σ_{x z}^{2}]^{2}}{σ_{x}^{2} σ_{z}^{2}} for ρ \in [0, 1] \end{array}

$\begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \frac{\sigma^2 \sigma_z^2 }{\sigma^2_{zx}} \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \sigma^2 \frac{1}{n \sigma^2_x} \frac{1}{\rho^2_{xz}}\nonumber \\ \rho^2_{xz} &=& \frac{[\sigma^2 _{xz}]^2}{\sigma_x^2 \sigma_z^2} \textit{for} \rho \in [0,1]\nonumber \end{eqnarray}$

Ось чому, якщо ваш інструмент слабкий, то вам може бути краще застосувати регресію OLS.

— Nox
джерело

В рівнянні для першої дисперсії IV оцінювача я вважаю, що дисперсія бебізійної бета-версії відсутня - правда? Дисперсію ви призначаєте лише тій частині, яка пов'язана зі зміщенням IV-оцінника. Якщо я помиляюся, поясніть, будь ласка, що я пропускаю.

— Джон Дої

Рядок, що слідує за " ", не є точно дисперсією (також чисельник пропускає позначення квадрата, просто помилка). Знаменник є випадковим (оскільки є ендогенним), а дисперсія набагато складніша.

v a r (u | z) = σ^{2}

$var(u|z)=\sigma^2$

x_{i}

$x_i$

— chan1142

6

Слабкі інструменти в поєднанні з незначною інструментальною ендогенністю можуть призвести до більшого зміщення, ніж OLS. Як показує відповідь Нокса, межа ймовірності оцінювача IV - . Коли хоч і малий, якщо малий, то зміщення може бути великим. Див. Зауваження Баунда, Джегера та Бейкера (1995, JASA) за рівнянням (7) на сторінці 444. $\beta_1 + cov(z,u)/cov(z,x)$ $cov(z,u) \ne 0$ $cov(z,x)$

http://www.djaeger.org/research/pubs/jasav90n430.pdf

"З рівняння (7) видно, що слабка кореляція між потенційно ендогенною змінною, та інструментами, , посилить будь-які проблеми, пов'язані з кореляцією між інструментом і помилкою, . Інструмент та ендогенна пояснювальна змінна є слабким, то навіть невелика кореляція між інструментом та помилкою може призвести до більшої невідповідності в IV оцінці ніж в оцінці OLS ". $x$ $z_1$ $\varepsilon$ $\beta$

Без інструментальної ендогенності я не думаю, що зміщення IV-оцінника (граничного розподілу, можливо, не існує межі ймовірності) є більшим, ніж непослідовність OLS.

Інша річ, яку слід врахувати, полягає в тому, що дисперсія IV-оцінювача, що використовує дуже слабкі інструменти, може бути великою навіть при дуже великій , і, отже, ви можете мати IV оцінку більше нісенітниць, ніж OLS для набору даних випадково. $n$

— чан1142
джерело