Динамічна оптимізація: що робити, якщо умова другого порядку не виконується?

Розглянемо наступну проблему динамічної оптимізації

$$\begin{align} &\max_u \int^T_0{F(x,u)dt}\\ \text{s.t.}~& \dot{x} = f(x,u) \end{align}$$

FOCs

Гамільтоніана задається через

$$\begin{align} H(x,u,\lambda) = F(x,u) + \lambda f(x,u) \end{align}$$ Необхідні умови для оптимальності задаються максимумом принцип $$\begin{align} \frac{\partial H}{\partial u} &= 0\\[2mm] \frac{\partial H}{\partial x} &= -\dot{\lambda} \end{align}$$

Припустимо, що $u^*=\arg\max_u H(x,u,\lambda)$ - це максимізатор, тобто $H_{uu} < 0$ .

SOC

Теорема, достатня стрілки, стверджує, що необхідні умови є достатніми, якщо максимізований гамільтоніан

$$\begin{align} H^0(x,\lambda) = \max_u H(x,u,\lambda) \end{align}$$ є увігнутим у $x$ , тобто якщо $H_{xx} < 0$ .

Проблема

Припустимо, FOCs утримуються, але SOC не вдається.

• Що можна сказати про оптимальність рішення?

Єдиної відповіді немає, це залежатиме від деталей кожної проблеми. Давайте розглянемо стандартний приклад.

Розглянемо базову задачу міжтемпоральної оптимізації для моделі Рамзі

$$\begin{align} &\max_u \int^{\infty}_0{e^{-\rho t}u(c)dt}\\ \\ & \text{s.t.}\;\; \dot{k} = i-\delta k\\ & \text{s.t.}\;\; y = f(k)=c+i \end{align}$$

Поточне значення гамільтоніана становить

$$\tilde H = u(c) +\lambda [f(k)-c-\delta k]$$

Максимізація більше тільки у нас є$c$

$$\frac {\partial \tilde H}{\partial c} = u'(c) - \lambda =0 \implies u'(c^*) = \lambda \implies c^* = (u')^{-1}(\lambda)$$

і умова другого порядку буде виконана, якщо функція корисності увігнута,

$$\frac {\partial^2 H}{\partial c^2} = u''(c^*) < 0$$

Більше того, із умови першого порядку щодо споживання якщо місцева ненасиченість має місце. Припустимо, що у нас є такі "звичні" уподобання.$\lambda >0$

Максимізований над споживанням гамільтоніан

$$\tilde H^0 = u[(u')^{-1}(\lambda)]+\lambda [f(k)-(u')^{-1}(\lambda)-\delta k]$$

Часткові похідні відносно змінної стану, є$k$

$$\frac {\partial \tilde H^0}{\partial k} = \lambda[f'(k) - \delta], \;\;\;\; \frac {\partial^2 \tilde H^0}{\partial k^2} = \lambda f''(k)$$

Отже тут умова достатності Ерроу-Курца зводиться до того, зменшується, постійний або збільшується граничний продукт капіталу (що залежатиме від ознаки другої похідної виробничої функції). У стандартному випадку і маємо достатню умову.$f''(k) < 0$

У найвідомішому випадку відхилення модель Ромера, яка започаткувала літературу про ендогенний ріст, , а граничний продукт капіталу є позитивною константою.$AK$$f''(k) =0$

То що ми можемо сказати в цьому випадку?

Тут, Seierstad, A., & Sydsaeter, K. (1977). Достатні умови в оптимальній теорії управління. Міжнародний економічний огляд, 367-391. надаємо різні результати, які можуть нам допомогти.

Зокрема, вони доводять, що якщо гамільтоніан спільно увігнутий у і , це є достатньою умовою для максимуму. Гессіан Гамільтоніан є$c$$k$

(ми можемо ігнорувати термін знижки)

$${\rm He}_H = \left [ \begin{matrix} u''(c) & 0\\ 0 & \lambda f''(k)\\ \end{matrix} \right]$$

У стандартному випадку з це матриця негативно визначеної, і тому гамільтоніан спільно суворо увігнутий в і . $u''(c) <0, \; f''(k) <0$$c$$k$

Коли , перевірка того, що матриця є від'ємною-напівдефінітом, є прямою, використовуючи визначення. Розглянемо вектор та добуток$f''(k) =0$$\mathbf z = (z_1, z_2)^T \in \mathbb R^2$

$$\mathbf z^T{\rm He}_H\mathbf z = z_1^2u''(c) \leq 0$$

ця слабка нерівність дотримується , і тому Гессієн спільно увігнутий у і .$\forall \mathbf z \in \mathbb R^2$$c$$k$

Таким чином, у моделі ендогенного росту рішення дійсно є максимумом (за умови обмеження параметрів, необхідних для чітко визначеної проблеми).$AK$