Стратегії домінували в грі безмежно проти остаточно повторюваних

Як концепція слабкого домінування працює з нескінченними іграми? Достаток понять здається каламутним.

Зокрема, припустимо, що два гравці наступну гру грають нескінченну кількість разів.

\begin{array}{lcr} A & B \\ A & 1, 1 & 0, 0 \\ B & 0, 0 & 0, 0 \end{array}

$\begin{array}{l*{2}{c}r} & A & B \\ \hline A & 1,1 & 0,0 \\ B & 0,0 & 0,0 \end{array}$

У однотактний іграх, то ясно , що гра слабо домінує дія . $A$ $B$

Однак що робити, якщо ми вважаємо химерний вид похмурого тригера:

У перший період, гравець грає $B$ .
Якщо в першому періоді грав другий $A$ , грайте в $B$ назавжди.
В іншому випадку, грати $A$ назавжди.

Для пацієнта, який достатньо пацієнта, найкраще реагувати на цю стратегію тією ж стратегією. Будь-яка стратегія, яка починається з $B$ а потім $A$ є найкращою відповіддю (деталі в дорозі можуть бути різними, так що найкраща відповідь може не зазначати $B$ назавжди, якщо інша вибере $A$ на початку).

$A$ $A$

$s'$ $s''$

game-theory repeated-games

— Pburg
джерело

Яка саме функція окупності супер гри? Знижена сума окупності ігор з одним вистрілом, середня окупність ігор за одну стрілку?

— Giskard

На сьогоднішній день жодна стратегія не може бути кращою, ніж просто грати A кожен раз. Це залишається правдою незалежно від того, скільки разів грається. Для уточнення, Ваша думка полягає в тому, що інші стратегії не гірші , тому Ви хотіли б знати, як їх усунути?

— Регрес вперед

@RegressForward: Загальна виграш якимось чином випливає з окупності всіх ігор на один удар. Якщо припустити, що це дисконтована сума виплат за один удар і коефіцієнт знижки : Якщо в повторній грі, якщо інший гравець грає вищевказану стратегію, я отримую виграш , граючи одну і ту ж стратегію і виграш 0, граючи кожен раз.

δ

$\delta$

0 + δ + δ^{2} + δ^{3} . . . = \frac{δ}{1 - δ}

$0 + \delta + \delta^2 + \delta^3 ... = \frac{\delta}{1 - \delta}$

A

$A$

— Giskard

Ах, пропустив застереження "must-play-B" в тригері, ти.

— Регрес вперед

@denesp Сума зі знижкою.

— Пбург

Відповіді:

Звичайна концепція вдосконалення, що використовується для боротьби зі слабкими стратегіями, - це ідеальна рівновага тремтячої руки . (Я не знаю інших, але цей працює досить добре.

У стратегії, про яку йдеться, дійсно слабо переважає наступна стратегія

У перший період, гравець грає . $B$
У всіх інших періодів, гравець грає . $A$

— Гіскард
джерело

TH - це уточнення NE, а не домінування (і питання про домінування, а не NE).

— Всемогутній Боб

@TheAlmightyBob Є два питання. Одне полягає в тому, чи домінує зазначена стратегія (у нескінченно повторюваній грі). Інший - "Які існують ідеї, щоб виключити тип стратегії, описаної вище?" Це дійсно вдосконалення НЕ саме з цією метою.

— Giskard

Проблема, яку ви згадали, полягає в тому, що домінування насправді не використовується часто. Це дуже слабке поняття в тому сенсі, яке зазвичай не має «зчеплення», тобто не багато стратегій усуваються. Ось чому ми використовуємо рівновагу Неша або навіть інші поняття (наприклад, тремтяча рука ідеального рівноваги, про яку згадував @desnesp, або, якась форма вдосконалення підгрунтя).

І це не має нічого спільного з безмежно чи нескінченно повторюваними іграми, це справедливо для кожної повторної гри (або кожної гри загалом).

У кінцево повторюваних іграх єдиними стратегіями, які слабо домінують (у вашому прикладі), є стратегії, які грають на в останньому раунді, враховуючи деяку історію. $B$

Дозвольте вам показати: Зрозуміло, що в ньому переважають (просто перейшовши на в останньому раунді цієї історії). $A$

Тепер інший напрямок: Припустимо , що існує домінувала стратегія , яка грає в останньому турі, тобто стратегія , яка грає всюди, але якщо ви грали , то грає в останньому турі. У цій стратегії суворо краща за будь-яку іншу стратегію і тому не домінує. $S$ $A$ $B$ $S$ $A$ $S$

Як це працює для нескінченно повторюваних ігор ? Таким же чином: Ви думаєте, що домінує, і у завжди є шанс, що буде відіграно пізніше? Тоді є стратегія, яка грає тоді, iff грав. (Я знаю, що це трохи неохайно, але я сподіваюся, що ви все-таки зрозумієте.) $S$ $S$ $A$ $A$ $S$

Отже, коротше:

Чи сама стратегія, про яку йдеться, слабо домінує?

Так, наприклад, перемкнувшись завжди грати в в останньому раунді. $A$

— Всевишній Боб
джерело

У нескінченно повторюваних іграх (і питання про них) немає останнього раунду.

— Giskard

Я знаю. Ось чому я пишу в кінцево повторюваних іграх. Я просто кажу, що проблема виникає і в кінцево повторюваних іграх. Це не проблема нескінченно повторюваних ігор, а домінування. Крім того, побудова контр-стратегії працює аналогічно.

— Всемогутній Боб

Повторні ігри - це особливий клас ігор широкої форми. І якщо такі ігри допускають стратегічне представлення форми, застосовуються звичні поняття домінування:

Визначення 1. Чистий стратегія є слабо домінує для гравця , якщо існує (змішана) стратегія таким чином, що для всіх , і зазначена вище нерівність сувора принаймні для одного . $s_i\in S_i$ $i$ $\sigma_i'\in\Delta(S_i)$
$\begin{matrix} (1) & u_{i} (σ_{i}^{'}, s_{- i}) \geq u_{i} (s_{i}, s_{- i}) \end{matrix}$ $u_i(\sigma_i',s_{-i})\ge u_i(s_i,s_{-i})\tag{1}$ $s_{-i}\in S_{-i}$ $s_{-i}$

Визначення 2. Чистий стратегія є слабо домінуючим для гравця , якщо кожна інша стратегія слабо домінує . $s_i^*\in S_i$ $i$ $s_i\in S_i\setminus\{s_i^*\}$ $s_i^*$

Давайте застосуємо це визначення до вашого прикладу. Виклик двох гравців і , позначимо через похмуру стратегію запуску Ви пропонуєте по (якщо використовується гравцем і , якщо використовується ) і позначимо через гравця «S стратегія , яка грає незалежно історії (і аналогічно ). $i$ $j$ $s_i^G$ $i$ $s_j^G$ $j$ $s_i^A$ $i$ $A$ $j$

Як ви визнаєте, не є слабкою домінантою: не домінує , оскільки існує стратегія така, що . Але це не означає, що слабо домінує. Зокрема, вона не домінує . $s_i^A$ $s_i^G$ $s_i^A$ $s_j^G$ $u_i(s_i^A,s_j^G)<u_i(s_i^G,s_j^G)$ $s_i^A$ $s_i^G$

У своєму підручнику з теорії ігор Фуденберг та Тіроль прокоментували це

Поняття про ітераційне суворе домінування поширюється і на ігри широкої форми; однак, як ми вже згадували вище, ця концепція має малу силу в найбільш обширних формах. Справа в тому, що гравець не може суворо віддавати перевагу одній дії над іншою в наборі інформації, яка не досягається з огляду на гру своїх опонентів.

— Гер К.
джерело