Кілька рівноваг: яку вибрати?

Є два агенти $i=1,2$ . Розглянемо наступну програму

\begin{aligned} V_{1} (x_{0}) := max_{u} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} F_{1} (x (t), u (t), v (t)) d t \\ V_{2} (x_{0}) := max_{v} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} F_{2} (x (t), u (t), v (t)) d t \\ s . t . & \dot{x} (t) = f (x (t), u (t), v (t)) \\ x (0) = x_{0} \end{aligned}

$\begin{align} &V_1(x_0) := \max_u \int^\infty_0 e^{-\rho t}F_1(x(t),u(t),v(t))dt\\ &V_2(x_0) := \max_v \int^\infty_0 e^{-\rho t}F_2(x(t),u(t),v(t))dt\\ s.t.~&\dot x(t)=f(x(t),u(t),v(t))\\ &x(0) = x_0 \end{align}$

ρ > 0

$\rho > 0$

V_{i} (\cdot)

$V_i(\cdot)$

F_{i} (\cdot)

$F_i(\cdot)$

x \in X = [0, 2]

$x\in X = [0,2]$

u \in U = [0, 1]

$u\in U=[0,1]$

v \in V = [0, 1]

$v\in V=[0,1]$

f (\cdot)

$f(\cdot)$

\begin{aligned} ρ V_{1} (x) = max_{u} [F (x, u, v^{*}) + V_{1}^{'} (x) f (x, u, v^{*})], \forall t \in [0, \infty) \\ ρ V_{2} (x) = max_{v} [F (x, u^{*}, v) + V_{2}^{'} (x) f (x, u^{*}, v)], \forall t \in [0, \infty) \end{aligned}

$\begin{align} \rho V_1(x)=\max_u [F(x,u,v^*) + V_1'(x)f(x,u,v^*)],\quad \forall t\in[0,\infty)\\ \rho V_2(x)=\max_v [F(x,u^*,v) + V_2'(x)f(x,u^*,v)],\quad \forall t\in[0,\infty)\\ \end{align}$

задані відповідні максимізатори

\begin{aligned} u^{*} & = max_{u} [F (x, u, v^{*}) + V_{1}^{'} (x) f (x, u, v^{*})] \\ v^{*} & = max_{v} [F (x, u^{*}, v) + V_{2}^{'} (x) f (x, u^{*}, v)] \end{aligned}

$\begin{align} u^* &= \max_u [F(x,u,v^*) + V_1'(x)f(x,u,v^*)]\\ v^* &=\max_v [F(x,u^*,v) + V_2'(x)f(x,u^*,v)] \end{align}$

таким чином, що HJB стають start

\begin{aligned} ρ V_{1} (x) = F (x, u^{*}, v^{*}) + V_{1}^{'} (x) f (x, u^{*}, v^{*}) \\ ρ V_{2} (x) = F (x, u^{*}, v^{*}) + V_{2}^{'} (x) f (x, u^{*}, v^{*}) \end{aligned}

$\begin{align} \rho V_1(x)=F(x,u^*,v^*) + V_1'(x)f(x,u^*,v^*)\\ \rho V_2(x)=F(x,u^*,v^*) + V_2'(x)f(x,u^*,v^*) \end{align}$

Симетрична рівновага

Симетрична рівновага задана при Ліворуч frow при і і . $\dot x = 0 \Leftrightarrow f(\tilde x,\tilde u,\tilde v) = 0$ $\tilde x = 1$ $\tilde u=\tilde v$ $V_1(\tilde x) = V_2(\tilde x) =: V(\tilde x)$

Проблема

Елементи управління рівновагою та не можуть бути визначені з наявною інформацією. Рівняння вірно для кожного . Тобто ми маємо множинні рівноваги. $\tilde u$ $\tilde v$

\begin{aligned} ρ V (\tilde{x}) = F (\tilde{x}, \tilde{u}, \tilde{v}) + V^{'} (\tilde{x}) \underset{= 0}{\underset{⏟}{f (\tilde{x}, \tilde{u}, \tilde{v})}} \end{aligned}

$\begin{align} \rho V(\tilde x)=F(\tilde x,\tilde u, \tilde v) + V'(\tilde x)\underbrace{f(\tilde x,\tilde u, \tilde v)}_{=0} \end{align}$

{(u, v) \in [0, 1] \times [0, 1] : u = v}

$\{(u,v)\in[0,1]\times[0,1]:u=v\}$

Виберіть Рівновага

Моя ідея полягає в тому, що (я придумав це, я нічого не читав про це), що я вибираю рівновагу, пов'язану з найвищим значенням. Ми можемо визначити для всіх . Скажімо є монотонно збільшення в і , тобто $V(\tilde x)$ $\{(u,v)\in[0,1]\times[0,1]:u=v\}$ $V(\tilde x)$ $u$ $v$

\begin{aligned} lim_{u = v \to 0} V (\tilde{x}) < lim_{u = v \to 1} V (\tilde{x}) \end{aligned}

$\begin{align} \lim_{u=v\to 0} V(\tilde x) < \lim_{u=v\to 1} V(\tilde x) \end{align}$

Я б вибрав фіксовану точку . Мені хотілося б знати, чи можу я мотивувати це формально як унікальне рішення. $(k = 1, u = 1, v = 1)$

Чи вибираю рівновагу, пов'язану з найвищим значенням, за визначенням функції значення?
Чи можете ви вказати на якусь літературу, що стосується цього питання?

Мотиваційний приклад

Нехай і з . HJB читають (з ) $F_1(x,u,v) = xu^2$ $F_2(x,u,v) = (2-x)v^2$ $f(x,u,v) = v-u$ $\rho=1$

\begin{aligned} V_{1} (x) & = max_{u} [x u^{2} + V_{1}^{'} (x) (v^{*} - u)] \\ V_{2} (x) & = max_{v} [(2 - x) v^{2} + V_{2}^{'} (x) (v - u^{*})] \end{aligned}

$\begin{align} V_1(x)&=\max_u [xu^2 + V_1'(x)(v^*-u)]\\ V_2(x)&=\max_v [(2-x)v^2 + V_2'(x)(v-u^*)] \end{align}$

Максимізаторами є

\begin{aligned} u^{*} & = \frac{V_{1}^{'} (x)}{2 x} \in [0, 1] \\ v^{*} & = \frac{V_{2}^{'} (x)}{2 (2 - x)} \in [0, 1] \end{aligned}

$\begin{align} u^*&= \frac{V'_1(x)}{2x}\in[0,1]\\[2mm] v^*&=\frac{V'_2(x)}{2(2-x)}\in[0,1] \end{align}$

У симетричній рівновазі маємо і що дає $\tilde x = 1$ $\tilde v = \tilde u \Leftrightarrow \dot x = 0$

\begin{aligned} V_{1}^{'} (1) = - V_{2}^{'} (1) \end{aligned}

$\begin{align} V'_1(1) = -V'_2(1) \end{align}$

HJb спрощує

\begin{aligned} V_{1} (1) = {(\frac{V_{1}^{'} (1)}{2})}^{2} = {(\frac{- V_{2}^{'} (1)}{2})}^{2} = V_{2} (1) \end{aligned}

$\begin{align} V_1(1)=\left(\frac{V'_1(1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{-V'_2(1)}{2}\right)^2 = V_2(1) \end{align}$

Оскільки обидві влаї рівні в рівновазі, то виходимо з 1. З контрольного простору ми знаємо, що

\begin{aligned} 0 \leq V_{1}^{'} (x) \leq 2 x \end{aligned}

$\begin{align} 0\leq V'_1(x) \leq 2x \end{align}$

Що знаходиться в рівновазі

\begin{aligned} 0 \leq V_{1}^{'} (1) \leq 2 \end{aligned}

$\begin{align} 0\leq V'_1(1) \leq 2 \end{align}$

Ми можемо оцінити для всіх або оскільки для всіх . На малюнку я виділив два можливих рівноваги і . Оскільки виплата збільшується з контролем, у нас є більш високе значення, пов'язане з рівновагою , тобто . $V(1)$ $V'_1(1)\in[0,2]$ $\tilde u=V'_1(1)/2$ $\tilde u \in[0,1]$ $E^A$ $E^B$ $E^A$ $V^A(1) > V^B(1)$

введіть тут опис зображення

— незрозумілий
джерело

Відповіді:

Я не впевнений, що я дотримуюся логіки цього рівняння, маючи нескінченно багато рішень та стаціонарних станів. У будь-якому випадку, далі наведено деякі вказівки щодо вибору рівноваги.

Це багато залежить від контексту. Ось декілька критеріїв у порядку зменшення

Чисті способи

Будь-який із стаціонарних станів нестабільний? Якщо так, то менша ймовірність того, що ми спостерігаємо насправді. Дивіться, наприклад, 0-стійкий стан у моделі Солоу.
Останній пункт, дещо узагальнений; Чи є якесь значуще початкове значення? Через залежність від шляху ви зміститеся лише в один стаціонарний стан зі свого змістовного значення.
Останній пункт, дещо узагальнений; Чи частіше ми сходимось до одного, ніж до іншого? В основному візьміть діапазон значущих початкових значень і подивіться, чи призводить більшість із них до однакового сталого стану

Вірте в координацію

Якщо все це не вдасться ... зробіть уряд потужним. Каплан і Менціо (2015) моделюють безробіття, і вони можуть отримати два стаціонарних стану, враховуючи їх калібрування. Вони сприймають нижчий рівень безробіття як "розумний" стійкий стан, який вони використовують для калібрування параметрів проти. Я не думаю, що вони це пояснюють, але, швидше за все, аргумент полягає в тому, що якщо є два стабільні держави, потужний уряд може керувати економікою до стабільної держави, що передбачає найвищий добробут.

Це в основному ваше "найвище значення", але це повинно бути зрозуміло, що є певна причина, чому це досягається. Ось чому я сказав "це багато залежить від контексту" - багато моделей збоїв координації критично залежать від припущення, що жодна вища держава не може керувати економікою. Дивіться також модель « Куряча економіка» , термін, який, на мою думку, спочатку був введений у штаті Міннесота.

Сонячні плями

Нарешті, якщо все інше не вдається, сонячні плями - це те, що визначає, в якій рівновазі ви знаходитесь. В економіці ми маємо на увазі під цією ознакою випадкову екзогенну змінну, щось не модельоване. Вони дуже суперечать, оскільки не мають економічного значення і важко перетравлюються. В основному, якби було щось, що мало економічне значення і могло б визначити рівновагу, ви б краще поставити його у вашу модель, аніж, щоб монета могла визначити її.

Дивіться також резюме Карла Шелла на цю тему для The New Palgrave: A Dictionary of Economics .

— FooBar
джерело

Окрім рішень, які FooBar представив у своїй відповіді, одним із способів, яким люди здатні позбутися множинних рівноваг, є неповна інформація. Я не можу знайти папери, які є найбільш релевантними вашому прикладу на даний момент, але "канонічним" прикладом, на який я думаю, є Морріс Шін 1998 . По суті, що відбувається:

Їх модель - модель "валютної атаки". Існує держава світу, яка визначає, чи варта валютна атака чи ні, і щоб успішно атакувати валюту, в атаці повинна брати участь певна кількість інвесторів (що залежить від держави). За повної інформації може бути підтримано кілька рівноваг, але навіть при дуже малій кількості шуму в їх сигналі про базовий стан світу рівновага стає унікальним.

Один відповідний документ може бути "Координація ділових циклів". Я не пам’ятаю більшості деталей у цьому документі , але він, по суті, має однотипний результат у більш повно розробленій моделі.

Список літератури:

Стівен Морріс та Сон Пін Шин. * Унікальна рівновага в моделі самозаповнення валютних атак. Американський економічний огляд. 1998 рік.
Едуард Шаль та Матьє Ташщеро-Думушель. Координація ділових циклів. Робочий документ. 2014 рік.

— cc7768
джерело

Сплячи над ним протягом ночі - і тепер, коли ОП дала більше інформації про його налаштування - я вважаю, що ми повинні відкрити нове загальне питання з цього питання і розмістити ці відповіді там.

— FooBar