Розв’язування рівняння Гамільтона-Якобі-Беллмана; необхідні та достатні для оптимальності?

Розглянемо наступне диференціальне рівняння де - стан, а - змінна. Рішення задається через де заданий початковий стан.

\begin{aligned} \dot{x} (t) = f (x (t), u (t)) \end{aligned}

$\begin{align} \dot x(t)=f(x(t),u(t)) \end{align}$

x

$x$

u

$u$

\begin{aligned} x (t) = x_{0} + \int_{0}^{t} f (x (s), u (s)) d s . \end{aligned}

$\begin{align} x(t)=x_0 + \int^t_0f(x(s),u(s))ds. \end{align}$

x_{0} := x (0)

$x_0:=x(0)$

Тепер розглянемо наступну програму де позначає перевагу в часі, - значення, а об'єктивна функція. Класичним економічним застосуванням є модель оптимального зростання Ramsey-Cass-Koopmans. Рівняння Гамільтона-Якобі-Беллмана задається через

\begin{aligned} V (x_{0}) := max_{u} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} F (x (t), u (t)) d t \\ s . t . & \dot{x} (t) = f (x (t), u (t)) \\ x (0) = x_{0} \end{aligned}

$\begin{align} &V(x_0) := \max_u \int^\infty_0 e^{-\rho t}F(x(t),u(t))dt\\ s.t.~&\dot x(t)=f(x(t),u(t))\\ &x(0) = x_0 \end{align}$

ρ > 0

$\rho > 0$

V (\cdot)

$V(\cdot)$

F (\cdot)

$F(\cdot)$

\begin{aligned} ρ V (x) = max_{u} [F (x, u) + V^{'} (x) f (x, u)], \forall t \in [0, \infty) . \end{aligned}

$\begin{align} \rho V(x)=\max_u [F(x,u) + V'(x)f(x,u)],\quad \forall t\in[0,\infty). \end{align}$

Скажімо , я вирішував HJB для $V$ . Оптимальне керування потім задається через

\begin{aligned} u^{*} = \arg max_{u} [F (x, u) + V^{'} (x) f (x, u)] . \end{aligned}

$\begin{align} u^*=\arg\max_u [F(x,u) + V'(x)f(x,u)]. \end{align}$ Я отримаю оптимальні траєкторії стану і управління

{(x^{*} (t), u^{*} (t)) : t \in [0, \infty)}

$\{(x^*(t),u^*(t)):t\in[0,\infty)\}$ .

У статті вікі йдеться

... але коли вирішується на всьому просторі стану, рівняння HJB є необхідною і достатньою умовою для оптимуму.

У Bertsekas (2005) Динамічне програмування та оптимальне керування , т. 1, 3-е видання, у пропозиції 3.2.1, він стверджує, що розв’язання для $V$ є оптимальною функцією затрат на рух, а пов'язане з ним $u^*$ є оптимальним. Однак він прямо заявляє це як теорему достатності.

Насправді, я просто хочу переконатися, що якщо я вирішую HJB і відновляю пов'язані траєкторії стану та керування, мені не доведеться турбуватися про додаткові умови оптимальності.

Рішення

Я намагаюся

Я думаю, що мені вдалося вивести необхідні умови з максимального принципу самим рівнянням HJB.

Визначте гамільтонів start

\begin{aligned} H (x, u, V^{'} (x)) := F (x, u) + V^{'} (x) f (x, u) \end{aligned}

$\begin{align} H(x,u,V'(x)) := F(x,u) + V'(x)f(x,u) \end{align}$

тоді ми маємо

\begin{aligned} ρ V (x) = max_{u} H (x, u, V^{'} (x)) \end{aligned}

$\begin{align} \rho V(x)=\max_u H(x,u,V'(x)) \end{align}$

що

\begin{aligned} ρ V (x) = H (x, u^{*}, V^{'} (x)) . \end{aligned}

$\begin{align} \rho V(x)= H(x,u^*,V'(x)). \end{align}$

Визначте довільну функцію з . Тепер виправте $q:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ $q(0)=\lim_{t\to\infty} q(t)=0$

\begin{aligned} x = x^{*} + ε q \end{aligned}

$\begin{align} x = x^*+\varepsilon q \end{align}$

де - параметр. Підключіть термін до максимізованого гамільтоніана, який дає $\varepsilon\in\mathbb{R}$

\begin{aligned} ρ V (x^{*} + ε q) = H (x^{*} + ε q, u^{*}, V^{'} (x^{*} + ε q)) . \end{aligned}

$\begin{align} \rho V(x^*+\varepsilon q)= H(x^*+\varepsilon q,u^*,V'(x^*+\varepsilon q)). \end{align}$

При маємо оптимальне рішення. Таким чином, різниться над щоб отримати умову першого порядку $\varepsilon = 0$ $\varepsilon$

\begin{aligned} ρ V^{'} q = H_{x} q + H_{V^{'}} V^{″} q . \end{aligned}

$\begin{align} \rho V'q = H_x q + H_{V'}V''q. \end{align}$

Тепер визначте суміжну змінну за допомогою

\begin{aligned} λ = V^{'} (x) . \end{aligned}

$\begin{align} \lambda = V'(x). \end{align}$

Диференціюйте з часом

\begin{aligned} \dot{λ} = V^{″} \dot{x} . \end{aligned}

$\begin{align} \dot \lambda = V''\dot x. \end{align}$

і зауважте, що

\begin{aligned} H_{V^{'}} = f (x, u) = \dot{x} . \end{aligned}

$\begin{align} H_{V'} = f(x,u) = \dot x. \end{align}$

Підключіть все те, що дає

\begin{aligned} ρ λ = H_{x} + \dot{λ} . \end{aligned}

$\begin{align} \rho \lambda = H_x + \dot \lambda. \end{align}$

Ось це досить багато. Тож рішення HJB дійсно необхідне та достатнє (тут опущено) для оптимальності. Хтось повинен додати його у вікі. Ви можете заощадити час для людей, які задумуються над такими проблемами (я вважаю, що це не так багато).

Однак умова поперечності відсутня.

\begin{aligned} lim_{t \to \infty} e^{- ρ t} λ (t) = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \lim_{t\to\infty} e^{-\rho t}\lambda(t) = 0 \end{align}$

II Спроба

Визначте функціонал виплат

\begin{aligned} J (u) := \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} F (x, u) d t \end{aligned}

$\begin{align} J(u):=\int^\infty_0 e^{-\rho t}F(x,u)dt \end{align}$

Зауважте, що за визначенням . Додайте нейтральний термін до функціональної виплати start

\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} λ [f (x, u) - \dot{x}] d t = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \int^\infty_0{e^{-\rho t}\lambda[f(x,u) - \dot x]dt} = 0 \end{align}$

\dot{x} = f (x, u)

$\dot x = f(x,u)$

\begin{aligned} J (u) & = \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} [F (x, u) + λ f (x, u)] d t - \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} λ \dot{x} d t \\ = \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} H (x, u, λ) - \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} λ \dot{x} d t \end{aligned}

$\begin{align} J(u)&=\int^\infty_0 e^{-\rho t}[F(x,u)+\lambda f(x,u)]dt - \int^\infty_0{e^{-\rho t}\lambda\dot xdt}\\ &=\int^\infty_0 e^{-\rho t}H(x,u,\lambda) - \int^\infty_0{e^{-\rho t}\lambda\dot xdt} \end{align}$

Інтеграція за частинами потрібного доданку і виходу rhs

\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} λ \dot{x} d t = [e^{- ρ t} λ (t) x (t)]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} x (\dot{λ} - ρ λ) d t \end{aligned}

$\begin{align} \int^\infty_0{e^{-\rho t}\lambda\dot xdt} = [e^{-\rho t}\lambda(t)x(t)]^\infty_0 - \int^\infty_0{e^{-\rho t}x(\dot \lambda-\rho\lambda)dt} \end{align}$

Замініть цей термін

\begin{aligned} J (u) = \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} [H (x, u, λ) + x (\dot{λ} - ρ λ)] d t - lim_{t \to \infty} e^{- ρ t} λ (t) x (t) + λ (0) x (0) \end{aligned}

$\begin{align} J(u)=\int^\infty_0 e^{-\rho t}[H(x,u,\lambda) + x(\dot \lambda-\rho\lambda)]dt - \lim_{t\to\infty}e^{-\rho t}\lambda(t)x(t) + \lambda(0)x(0) \end{align}$

Визначте

\begin{aligned} x & = x^{*} + ε q \\ u & = u^{*} + ε p \end{aligned}

$\begin{align} x &= x^*+\varepsilon q\\ u &= u^*+\varepsilon p \end{align}$

що дає

\begin{aligned} J (ε) = \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} [H (x^{*} + ε q, u^{*} + ε p, λ) + (x^{*} + ε q) (\dot{λ} - ρ λ)] d t - lim_{t \to \infty} e^{- ρ t} λ (t) [x^{*} (t) + ε q (t)] + λ (0) x (0) \end{aligned}

$\begin{align} J(\varepsilon)=\int^\infty_0 e^{-\rho t}[H(x^*+\varepsilon q,u^*+\varepsilon p,\lambda) + (x^*+\varepsilon q)(\dot \lambda-\rho\lambda)]dt - \lim_{t\to\infty}e^{-\rho t}\lambda(t)[x^*(t)+\varepsilon q(t)] + \lambda(0)x(0) \end{align}$

FOC для максимуму $J_\varepsilon = 0$

\begin{aligned} J_{ε} = \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} [H_{x} q + H_{u} p + q (\dot{λ} - ρ λ)] d t - lim_{t \to \infty} e^{- ρ t} λ (t) q (t) = 0 \end{aligned}

$\begin{align} J_\varepsilon=\int^\infty_0 e^{-\rho t}[H_x q + H_u p + q(\dot \lambda-\rho\lambda)]dt - \lim_{t\to\infty}e^{-\rho t}\lambda(t)q(t) = 0 \end{align}$

Оскільки і не обмежені, ми повинні мати $q$ $p$

\begin{aligned} H_{u} & = 0 \\ H_{x} & = ρ λ - \dot{λ} \\ lim_{t \to \infty} e^{- ρ t} λ (t) & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} H_u &= 0\\ H_x &= \rho\lambda - \dot \lambda\\ \lim_{t\to\infty}e^{-\rho t}\lambda(t) &= 0 \end{align}$

mathematical-economics reference-request dynamic-programming

— незрозумілий
джерело

Ви ще визначили необхідні та достатні умови?

— Jamzy

У якому економічному контексті це виникає?

— Стен Шунпік

Ramsey модель, наприклад cer.ethz.ch/resec/people/tsteger/Ramsey_Model.pdf

— неосвічена

Я думаю, що ця тема краще підходить для math.stackexchange.com, оскільки вона насправді не пов'язана з econ. Мод може передати його.

— незрозумілий

Я не впевнений, що тут задають питання: якщо на Берцекаса рішення HJB є достатнім , тоді вам не доведеться "турбуватися про додаткові умови оптимальності". "Достатній лише" проти "необхідних і достатніх" виникне у випадку, якщо HJB не буде вирішено - в такому випадку можна сказати "це не означає, що рішення немає". До речі, ваші Спроби I і II є цінним змістом тут: перший показує посилання між HJB та Optimal Control, другий показує, як можна вивести FOC з оптимального управління.

— Алекос Пападопулос

(Це, можливо, варто врахувати як коментар.)

Якщо ви вирішили рівняння HJB, достатньо отримати оптимальне рішення. Таким чином, вам не потрібно "турбуватися про будь-які інші умови оптимальності", які, на мою думку, відповідають на ваше запитання.

Здається, ви стурбовані "необхідною" складовою теореми. Сторона необхідності твердження полягає в наступному: якщо існує оптимальне рішення, повинно існувати рішення рівняння HJB.

Я не працював з цією конкретною проблемою, але загалом відповідь полягає в тому, що ми не очікуємо, що ми будемо мати диференційовану функцію V. Тому у нас немає рішення рівняння, як сказано. Натомість нам потрібно подивитися на узагальнені похідні та перетворити рівняння HJB у нерівність. У такому випадку ви можете отримати "розчин в'язкості". Якщо ми поширюємо на використання узагальнених похідних, можливо, можна довести, що таке рішення завжди існує. Поглянувши на ваші докази, вони не допоможуть у необхідних умовах, оскільки ви припускаєте, що відрізняється.

— Брайан Романчук
джерело