Відгадай і перевіри

У динамічному програмуванні метод невизначених коефіцієнтів іноді відомий як "здогадайся і перевіри". Я періодично чув, що є канонічні здогадки.

Зокрема, я бачив

$V(k) = A + B\ln(k)$

$V(k) = \frac{Bk^{1-\sigma}}{1-\sigma}$

Перший стосується утиліти журналу, тоді як другий пов'язаний з налаштуваннями CRRA. Які ще канонічні здогадки існують і чи загалом вони пов'язані з певною формою функції повернення?

Редагувати : Для тих, хто не знайомий з динамічними програмами, ми намагаємось зробити це закриті форми для коефіцієнтів ( наприклад, і ). Для надмірного спрощення функціональне рівняння зазвичай набуває загальної форми , де описує еволюцію змінної стану . За суті, значення буття в стані сьогодні залежить від сьогоднішньої поворотній функції і деякої зниженої в ціні вартості незалежно від буде завтра . $A$ $B$ $V(k) = \max\bigl\{F(k,u) +\beta V\bigl(g(k,u)\bigr)\bigr\}$ $g(\cdot,\cdot)$ $k$ $k$ $F(k,u)$ $k$ $\beta V\bigl(g(k,u)\bigr)$ $u$ репрезентує будь-які інші недержавні змінні, на вашу думку, впливають на прибуток.

Іноді для можна отримати рішення закритої форми $V(k)$ (... зверніть увагу: ми не вирішуємо просто для $V(k)$ оскільки права частина - це максимальна величина). Зазвичай це означає знати щось про функцію повернення $F(k,u)$ а потім здогадуватися про функціональну форму $V(k)$ . Тоді ми можемо переглядати, чи дає наша здогадка рішення закритої форми для $V(k)$ . Зокрема, це стосуватиметься закритих форм для коефіцієнтів у здогаді (звідси метод невизначених коефіцієнтів).

macroeconomics dynamic-programming

— Пат В.
джерело

Це залежить від того, які дані у вас є. Взагалі майже кожну функцію можна взяти. Але якщо ви думаєте, що дані поширюються як функція утиліти, то ви можете взяти У цьому випадку ви можете лінеаризувати рівняння: Для оцінки коефіцієнтів і можна застосувати метод найменших квадратів: en.wikipedia.org/wiki/Least_squares

U (x, y) = x^{α} \cdot y^{β}

$U(x,y)=x^{\alpha}\cdot y^{\beta}$

l n (U) = α \cdot l n (x) + β \cdot l n (y)

$ln(U)=\alpha\cdot ln( x)+\beta \cdot ln(y)$

α

$\alpha$

β

$\beta$

— callculus

@calculus Він не питає про оцінку та . Він запитує про динамічне програмування та метод здогаду та перевірки як методу для отримання функції значення, що відповідає конкретним функціям корисності.

α

$\alpha$

β

$\beta$

— cc7768

@ cc7768 Це питання не дуже конкретне. Я не знаю, що означала ОП під динамічним програмуванням у цьому контексті. Я просто хотів дати кілька підказок. У мене склалося враження, що ОП не впевнений, про що він питає. ОП може внести зміни для уточнення.

— callculus

Ще одна дещо канонічна форма - функція значення для вподобань, залежних від ризику, коли споживання слідує за випадковим кроком з дрейфом (є також версії, включаючи капітал - див. Backus Ferriere Zin 2014).

c_{t} = μ + c_{t - 1} + σ_{c} ε_{t}

$c_t = \mu + c_{t-1} + \sigma_c \varepsilon_{t}$

Почніть з переваг, заданих як Епштейн-Зін, з функцією еквівалентності визначеності форми : $\mu_t(x) = E_t[x_{t+1}^\alpha]^{\frac{1}{\alpha}}$

V_{t} = {((1 - β) C_{t}^{ρ} + β μ_{t} (V_{t + 1}))}^{\frac{1}{ρ}}

$V_t = \left( (1 - \beta) C_t^{\rho} + \beta \mu_t(V_{t+1}) \right)^{\frac{1}{\rho}}$

то дозволяючи дає нам $\rho \rightarrow 0$

V_{t} = C_{t}^{1 - β} {[μ_{t} (V_{t})]}^{β}

$V_t = C_t^{1 - \beta} \left[\mu_t(V_t) \right]^{\beta}$

V_{t} = C_{t}^{1 - β} {[E_{t} [V_{t}^{α}]^{\frac{1}{α}}]}^{β}

$V_t = C_t^{1 - \beta} \left[E_t[V_t^{\alpha}]^{\frac{1}{\alpha}} \right]^{\beta}$

Прийняття журналів дає нам чутливі до ризику переваги, представлені в Hansen Sargent 1995, Tallarini 2000 тощо.

Визначте та тоді ми бачимо, що: $U_t = \log(V_t)/(1-\beta)$ $\theta = \frac{-1}{(1-\beta) \alpha}$

U_{t} = \log (C_{t}) - β θ \log [E_{t} [\exp (\frac{- U_{t + 1}}{θ})]]

$U_t = \log(C_t) - \beta \theta \log \left[ E_t \left[ \exp \left( \frac{-U_{t+1}}{\theta} \right) \right] \right]$

Форму цієї функції значення можна здогадатися як:

U_{t} = γ_{0} + γ c_{t}

$U_t = \gamma_0 + \gamma c_t$

Список літератури:

Девід Бекус, Аксель Феррієр та Станелі Зін. Ризик та неоднозначність у моделях ділових циклів. Конференція Карнегі-Рочестер-Нью-Йорк 2014 рік.
Ларс Люнквіст і Томас Дж. Сарджент. Рекурсивна макроекономічна теорія, 3-е видання. 2013 рік.
ТД Талларіні-молодший Реальні бізнес-цикли, залежні від ризику. Журнал валютної економіки. 2000 рік.
Л. П. Хансен та Т. Дж. Сарджент. Дисконтований лінійний експоненціальний квадратичний гауссовий контроль. IEEE Trans Автоматичне управління. 1995 рік.

Додатковий коментар: Два представлені вами випадки більш-менш охоплені здогадкою оскільки це зводиться до журналів як . Здогадки, безумовно, пов'язані з конкретною формою функції повернення, оскільки функція значення пов'язана з функцією повернення (винагороди) за один період, неодноразово отриманої протягом нескінченної історії (якщо споживання було постійним, то воно зменшилось би до геометричної суми). $V(k) = A + B \frac{k^{1-\sigma}}{1 - \sigma}$ $\sigma \rightarrow 1$

— cc7768
джерело

Хороший момент щодо переваг журналу як окремого випадку. Це чудова відповідь, і я планую тримати це відкритим трохи довше, щоб побачити, чи мають інші також канонічні форми.

— Пат В.